7-amaliy mashg‘ulot mavzu: Moddiy nuqta dinamikasi 1-masala

Kuch masofaga bog‘liq o‘zgaradi.



5-masala Ishqalanish kuchini va havoning qarshiligini hisobga olmagan holda, Erning AV vatari bo‘ylab kavlangan kanalning A boshidan to oxirgi V nuqtasigacha borishi uchun qancha vaqt sarflanishi aniqlansin (9a.3 shakl). Hisoblash ishlarida Erning radiusi R=6370 km deb hisoblansin.


9a.3 shakl
E s l a t m a. Tortilish nazariyasida isbot qilinishicha, Erning ichida joylashgan har bir jism Erning markazigacha bo‘lgan r -masofasiga to‘g‘ri proportsional bo‘lgan kuch ta’sirida Erning markaziga tortilib turadi. Erning ustida, ya’ni Erning markazigacha r=R bo‘lgan masofada turgan jismga ta’sir etayotgan kuch og‘irlik kuchi (F=mg)dan iborat bo‘lib, Erning ichidagi jismga ta’sir etuvchi kuch
F=(mg/R)r
dan iborat bo‘lib, bu erdagi r=MC - M nuqtadan Erning markazigacha bo‘lgan masofa.
E ch i sh. Hisob boshini AV vatarning o‘rtasiga qo‘yamiz (chunki kanalning ichidagi nuqta shu joyda muvozanatda bo‘lishi mumkin bo‘lar edi) va Ox o‘qini OA chizig‘i bo‘ylab yo‘naltiramiz. Agar AV vatarning uzunligini 2a deb hisoblasak, boshlang‘ich shartlar quyidagicha bo‘ladi, ya’ni t=0 bo‘lganda x=a va v_x=0 bo‘ladi.
Nuqtaning ixtiyoriy holatida unga va kuchlar ta’sir etadi. Shu sababli
F_kx=-Fcos=-(mg/R)rcos=-(mg/R)x,
bo‘ladi, chunki shakldan rcos=x va N=0.
M nuqtaga ta’sir etayotgan kuch koordinata x -ga bog‘liq ekan. Tuzilgan differentsial tenglamadagi o‘zgaruvchilarni ajratish uchun, uni (9a.3) ko‘rinishda yozamiz. So‘ngra quyidagi belgilashni kiritib g/R=k², tenglamaning ikkala tomonini m -ga qisqartirsak
v_x =-k²x hoil bo‘ladi.
Tenglamaning ikkala tomonini dx -ga ko‘paytirsak, o‘zgaruvchilar o‘z o‘zidan ajrab qoladi, so‘ngra tenglamani integrallab, quyidagi natijani olamiz,

Boshlang‘ich shartga ko‘ra x=a bo‘lganda v_x=0 bo‘ladi. Shunga asosan, S₁=k²x²/2 bo‘ladi. S₁ -ning qiymatni yuqoridagi tenglamaga qo‘yib, uni tezlikka nisbatan echsak,
hosil bo‘ladi.
Biz tekshirayotgan nuqtaning holatida uning tezligi M dan O -ga yo‘nalgan deb hisoblasak, ya’ni v_x<0 bo‘lsa, ildizning oldidagi ishorani manfiy deb hisoblaymiz (lekin, bu ishorani musbat deb hisoblanganda ham oxirgi natija bir xil bo‘laveradi). So‘ngra v_x-ni dx/dt bilan almashtirib
ni yozamiz.
O‘zgaruvchilarni ajratib yuborsak,

va bu tenglamani integrallab,
kt=arccos(x/a)+C₂
hosil qilamiz. Ushbu tenglamaga boshlang‘ich (t=0 da x=a) shartlarni qo‘yib, S₂-ning qiymatini aniqlaymiz, ya’ni S₂=0 bo‘lar ekan, demak kt=arccos(x/a) bo‘ladi, bundan M nuqtaning harakat tenglamasini aniqlaymiz, ya’ni
x=acoskt bo‘ladi.
Demak, M nuqtaning AV kanal ichidagi harakati amplitudasi a -ga teng bo‘lgan garmonik tebranma harakatdan iborat bo‘lar ekan.
Endi M nuqta kanalning oxirgi V nuqtasiga etgandagi o‘tgan vaqt t₁ - aniqlaymiz. V nuqtada x -ning koordinatasi x=-a bo‘ladi. Ushbu qiymatni M nuqtaning harakat tenglamasiga qo‘ysak coskt=-1 bo‘ladi, bundan kt₁= va t₁=/k-ning qiymatini aniqlaymiz. Yuqorida kiritilgan belgilashga asosan . Ushbu ifodalarning son qiymatlarini qo‘yib hisoblab chiqsak, shuni aniqlaymizki AV kanalning uzunligi qanday bo‘lishidan qat’iy nazar, nuqta bir xil vaqtda kelar ekan, ya’ni
t₁= 42 min 11s bo‘lar ekan.
Ushbu natija ancha qiziqarli bo‘lib (hozircha fantastikaga o‘xshash bo‘lgan) shunday kanal qazish loyihalarining paydo bo‘lishiga sabab bo‘lmoqda.
Qo‘shimcha ravishda nuqtaning shunday harakatidagi maksimal tezlikning qiymatini aniqlaylik. Tezlik v_x - ning formulasidan x=0 bo‘lganda v=v_max, ya’ni O nuqtada uning tezligi maksimal bo‘lar ekan. Demak
bo‘lar ekan.
Masalan, 2a=0,1R=637 km (taxminan Moskvadan Sankt Peterburggacha bo‘lgan masofa) bo‘lsa, maksimal tezlikning qiymati v_max395 m/c=1422 km /soat.
Moddiy nuqtaning masofaga proportsional bo‘lgan kuch ta’siridagi tebranma harakati keyingi 25 va 26 mavzularda batafsil o‘rganiladi. O‘sha mavzuda qanday qilib tebranma harakatning differentsial tenglamalarini tuzish va ularni integrallash usullari ham ko‘rib o‘tiladi.

3.