7- mahruza. Splaynlar bilan yakishlashish. Reja. Masalaning kuyilishi. Asosiy tushunchalar. Kubik splaynni kurish

a_i=a_i+1+b_i+1(x_i-x_i+1)+ (x_i-x_i+1)²+ (x_i-x_i+1)³

tenglamalarni olamiz.h=x_i-x_i-1 deb belgilab,bu tenglamalarni

b_ih-c_i +d_i =y_i -y_i-1 , i= (2)

ko`rinishda yezib olamiz.

Birinchi xosilaning uzluksizlik shartlari

S_i^'(x_i)=S^'_i+1(x_i) i= kuyidagi tenglamalarga olib keladi:

c_ih-d_i =b_i-b_i-1, i=2,3,...,n. (3)

Ikkinchi xosilaning uzluksizligi shartlaridan

d_ih=c_i-c_i-1 ,i=2,3,...,n (4)

tenglamalarni olamiz.(2)-(4) larni birlashtirib, 3n ta b_i ,c_i ,d_i , i=1,2,...,n noma`lumlarga nisbatan 3n-2 ta tenglamalar sistemasini olamiz.

Ikkita yetishmayotgan tenglamalarni S(x) uchun u yoki bu chegaraviy shartlarni qo`yib olinadi. Faraz qilaylik, masalan, f(x) funksiya f<sup>''</sup>(a)=f<sup>''</sup>(b)=0 shartlarni qanoatlantirsin. U xolda S<sup>''</sup>(a)=S<sup>''</sup>(b)=0 bo`lishini talab qilish tabiiydir. Bu yerdan ₁(x₀)=0, S^''_n(x_n)=0 yahni, c₁-d₁h=0,c_n=0 ni olamiz.

c₁-d₁h=0 shart i=1 da c₀=0 deb olinganda (4) tenglama bilan ustma-ust tushishini ko`ramiz. Shunday qilib, kubik splaynning koeffitsentlarini aniqlash uchun

hd_i=c_i-c_i-1 , i= , c₀=c_n=0, (5)

hc_i - d_i=b_i-b_i-1, i=2,3,...,n, (6)

hb_i- c_i+ d_i=y_i-y_i-1, i= (7)

tenglamalar sistemasini oldik. Bu sistema yagona yechimga ega bo`lishini isbotlash mumkin. Demak, bundan esa a) – v) shartlar va

S^''(a)=S^''(b)=0

chegaraviy shartlar bilan aniqlanadigan yagona splayn mavjudligi kelib chikadi. Masalan, n=2 bo`lganda teng uzoklikdagi uchta x₀ , x₁, x₂ tugun nuqtalarga va funksiyaning ularga mos y₀ , y₁ , y₂ qiymatlari uchun [x₀ , x₁] kesmada

S₁(x)=y₁+b₁(x-x₁)+ (x-x₁)²+ (x-x₁)³

ko`pxadga, [x<sub>1,</sub>x<sub>2</sub>] kesmada esa S<sub>2</sub>(x)=y<sub>2</sub>+b<sub>2</sub>(x-x<sub>2</sub>)+ (x-x<sub>2</sub>)<sup>2</sup>+ (x-x<sub>2</sub>)<sup>3</sup> ko`pxadga ega bo`lamiz. Bu yerdagi b₁ , c₁ , d₁ , b₂ , c₂ , d₂ (c₂=0) koeffitsiyentlarni

tenglamalar sistemasini yechib topamiz. Yuqoridagi muloxazalar bilan kubik splaynni ixtiyeriy h_i=x_i+1-x_i qadam uchun xam tuzish mumkin.