6-mavzu: To‘la metrik fazolar. To‘ldiruvchi fazo reja fundamental ketma-ketliklar. To‘la metrik fazoning ta’rifi, misollar

1.Akslantirishning qo’zg’almas nuqtasi.
Aytaylik metrik fazo akslantirish berilgan bo’lsin.
Ta’rif. Agar fazodagi biror a nuqta uchun tenglik o`rinli bo`lsa, u holda a nuqta T akslantirishning qo`zg`almas nuqtasi deyiladi.
Misollar .
1. Sonlar o`qida berilgan akslantirishning qo’zg’almas nuqtalari tenglama yechimlaridan, yani 0 va 1 dan iborat.
2. formulalar tekkislikni o’z-o’ziga akslantiradi. Bu akslantirishning qo’zg’almas nuqtalari sistemaning yechimidan, yani
(-11) nuqtadan iborat.
3. Agar funksiya kesmada uzliksiz bo’lsa , u xolda funksiya xam kesmada uzluksiz funksiya bo’ladi. SHuning uchun formula bilan aniqlangan akslantirish
fazoni o’z-o’ziga akslantiradi.
Bu akslantirishning qo’zg’almas nuqtalari funksional tenglamaning uzliksiz yechimlaridan , yani va funksiyalardan iborat bo’ladi.
Qisqartirib akslantirish.
Aytaylik, metrikfazoni o’z-o’ziga aks ettiruvchi
akslantirish berilgan bo’lsin.
Ta’rif: Agar X fazodan olingan barcha x va y nuqtalar uchun

tengsizlikni qanoatlantiradigan son mavjud bo`lsa , u holda T qisqartirilgan akslantirish deyiladi .
Teorema : Agar T qisqartirib akslantirish bo`lsa , u holda T uzluksiz bo`ladi.
3. Qisqartirib akslantirish prinsipi.
To`la metrik fazolarda berilgan har hil tenglamalarning mavjudligi va yagonaligini isbotlashda , qisqartirib akslantirish prinsipi muhim va foydali usullardan biri sifatida ishlatilib kelinadi.
Teorema : To`la metrik fazolarda berilgan har bir T , qisqartirib akslantirish yagona qo`zg`almas nuqtaga ega,
ya`ni tenglamaning yagona yechimi mavjud.
Isboti. Aytaylik, nuqta X fazoning ixtiyoriy nuqtasi bo`lsin.
_{T akslantirish} X fazoni o`z-o`ziga akslantirish uchun nuqtaning obrazi ham X fazoga tegishli bo`ladi .
Bu nuqtani bilan belgilaymiz , ya`ni
Endi nuqtaning obrazini topib uni bilan belgilaymiz. Bu jarayonni cheksiz davom ettirib, X fazoning elementlaridan tuzilgan
₍₂₎
ketma - ketlikka ega bo`lamiz.
Bu ketma - ketlikning fundamental ekanligini ko`rsatamiz.
Qisqartirib akslantirish ta`rifidan va metrikaning uchburchak tengsizligidan ixtiyoriy n va m natural sonlar (m>n) uchun

Munosabat o`rinli bo`ladi. Endi bo`lganligi sababli, n yetarlicha katta bo`lganda bu tengsizlikning o`ng tomonini istalgancha kichik qilish mumkin . Demak, ketma - ketlik fundamental ekan. Bunda ketma - ketlik yaqinlashuvchi va X fazoning to`laligidan kelib chiqadi. T uzluksiz akslantirish bo`lganligidan

Demak, a qo`zg`almas nuqta ekan.
Endi qo`zg`almas nuqtaning yagonaligini isbotlaymiz.
Faraz qilaylik, qo`zg`almas nuqta ikkita va bo`lsin. U holda munosabatdan va demak, a=b kelib chiqadi. Teorema isbot bo`ldi.
Isbotlangan teorema, odatda, qisqartirib aklantirish prinsipi deb yuritiladi.
Qisqartirib akslantirish prinsipining algebradagi tadbiqi.
Quydagi tenglamalar sistemasini qaraymiz:
_{(1)
Bu tenglamalar sistemasini n o’lchamli vektor fazodagi} vektor va
matritsa orqali ifodalab, ko’rinishda yozish mumkin. Agar n o’lchovli vektor fazoda va lar uchun
kabi aniqlangan metrikani qarasak, u xolda ixtiyoriy ikkita va nuqta uchun
munosabatga ega bo’lamiz.
Bundan T akslantirish qaralayotgan metrikaga nisbatan qisqartirib akslantirish bo’lishi uchun

_{tengsizliklarning} o’rinli bo’lishi yetarli ekanligi kelib chiqadi.Demak, (1) tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’lishi uchun (2) tengsizliklarning o’rinli bo’lishi yetarli.
1. Qisuvchi akslantirishlar prinsipining tadbiqlari.
Qisuvchi akslantirishlar prinsipini har xil turdagi tenglamalar yechimlari mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremalarni isbotlashda qo’llash mumkin. Qisuvchi akslantirishlar prinsipi Ax=x tenglama yechimi mavjudligi va yagonaligini isbotlash uchungina qo’llanib qolmay , bu tenglama yechimini topish usulini ham beradi .