|
6.Determinantni va teskari matritsani hisoblash.
Hisoblash matematikasi metodlarini amaliy masalalarni echishga tadbiq etish jarayonida ko’pincha algebraik sistema matritsasining determinantini va teskari matritsasini hisoblashga to’g’ri keladi. Ularni hisoblash odatdagi an’anaviy usulda va Gauss metodidan foydalangan holda amalga oshirilishi mumkin .
Determinantni an’anaviy usul bilan hisoblash va undagi arifmetik amallar soni .
Tartibi unchalik yuqori bo’lmagan va maxsus tipdagi determinantlar osongina hisoblanadi.
Xususiy holda , ikkinchi tartibli determinant uchun (n=2)
=
formula o’rinli va undagi arifmetik amallar soni
N =2*2 -1=3
ga teng , bulardan (2-1)2 =2 tasi ko’paytirish va 2 tasi esa qo’shish amallaridir (ayirishni manfiy ishorali sonni qo’shish deb olamiz). Uchinchi tartibli determinant (n=3) ni hisoblash uchun ushbu formula o’rinli
=
bunda arifmatik amallar soni N=3*3 -1=17
ga teng , ulardan (3-1)*3 =12 ta ko’paytirish va (3 =5 ta qo’shish amalidir.
Uchburchakli matritsaning determinanti uning bosh dioganalida joylashgan elementlarining ko’paytmasiga teng:
D= .
Bundan ko’rinadiki , birlik matritsaning determinant 1 ga , nol matritsaning determinant nolga teng ya’ni ,
detE= 1 , det0= 0.
Umumiy holda determinantni hisoblash ancha murakkab jarayon. Tartibi n ga teng bo’lgan D determinant ushbu formula bo’yicha hisoblanadi
D= = (5.8) Bunda indekslar 1,2,…,n nomerlarning barcha n almashinishlarini o’z ichiga oladi , k esa ushbu almashinishlardagi inversiyalar soni(ya’ni indekslar o’rin almashinishlari soni ). Musbat yoki manfiy ishora ( ) indekslarnong juft yoki toq marta o’rin almashinishiga bog’liq hamda aynan yarmida musbat , aynan yarmida manfiy bo’ladi.
Tartibi n ga teng bo’lgan determinantni hisoblash uchun zarur bolgan arifmetik amallar soni
N=n* n -1 n (5.9)
formula bilan aniqlanadi.
Teskari matritsani an’anaviy usul bilan hisoblash va arifmetik amallar soni .
1-Ta’rif. matritsa kvadrat matritsa A ga nisbatan teskari matritsa deyiladi , agarda ularning ko’paytmasi birlik matritsaga teng bo’lsa ya’ni
A* = *A=E
Ixtiyoriy xosmas matritsa (D=detA teskari matritsaga ega . Bunda
det =
2-Ta’rif. A matritsa elementlarining minori deb , shunday (n-1) tartibli determinantga aytiladiki, u A matritsaning i-satri va j-ustunini o’chirish natijasida hosil qilinadi.
3-Ta’rif. A matritsa elementining algebraik to’ldiruvchisi deb , uning ishora bilan olingan minoriga aytiladi , ya’ni
Teskari matritsa B= quydagicha hisoblanadi.
B= (5.10)
Endi teskari matritsani hisoblash uchun zarur bo’lgan arifmetik amallar sonini hisoblaymiz:har biri (n-1)- tartibli bo’lgan ta algebraik to’ldiruvchi hisoblanadi va xar bir algebraik to’ldiruvchi D determinantga marta bo’linadi. Tartibi n ga teng bo’lgan D determinantni hisoblash uchun (n*n ta arifmetik amal zarur ekanligi bizga ma’lum.
Shunday qilib , teskari matritsani hisoblash uchun zarur bo’lgan arifmetik amallar soni quyidagi miqdorga teng:
N= + +
D ni hisoblash uchun
Determinantni Gauss metodi bilan hisoblash.determinantni bevosita hisoblash juda kata hajmda arifmetik amallar bajarishni talab qiladi.Uchburchakli matrisaning determinant uning bosh diagonalidagi elementlarining ko’paytmasiga teng.Berilgan matrisani uchburchakli ko’rinishga keltirish uchun o’zgaruvchilarni yo`qotish usulidan foydalanish mumkin, ya`ni Gauss metodining to’g’ri yo’lidan.
O`zgaruvchilarni yo`qotish jarayonida determinantning qiymati o`zgarmaydi.Determinantning ishorasi uning satr yoki ustunlarining o`rni almashtrilganida qarama-qarshisiga o`zgaradi.Shunday qilib A matrisani uchburchakli ko’rinishga keltirgandan keyin determinantning qiymati
(5.11)
formula bilan hisoblanadi. Bunda diagonal elementlar o’zgartirilgan matrisadan olinadi.Satr(yoki ustun)lar o’rni juft marta almashtrilganda musbat(+) ishora, toq marta almashtirilganda esa manfiy(-) ishora olinadi.
Quydagi sistemaning determinantini hisoblash talab etilgan bo`lsin.
Dastlab, bu matritsaning determinantining an’anaviy usul bilan hisoblaymiz.
= 100-210+60-105=-315+160=-155
Endi berilgan sistemaning Gauss metodining to’g’ri yo’li yordamida yuqori uchburchakli holda keltirilgan ko’rinishini qaraymiz.
Hosil bo’lgan sistemaning asosiy diagonalidagi elementlarini ko’paytiramiz
Determinantning ushbu Gauss usuli yordamida topilgan qiymati, an’anaviy usulda hisoblangan qiymat -155 ga teng.
Teskari matrisani Gauss usuli bilan hisoblash.Endi teskari matrisani topishni qaraymiz. Uning elementlarini orqali belgilaymiz. Munosabat =E ni quydagi ko’rinishda yozamiz:
( i,j=1,2,3,…n) (5.12)
Bundan ko’rinadiki, teskari matrisaning bitta ustuni elementlarini topish uchun A matrisaga ega bo’lgan chiziqli Sistema (4.12)ni yechish zarur.
Masalan , j-ustun elementlari larni quydagi sistemani yechish natijasida topish mumkin.
(5.13)
Bu sistemaning o’ng tomonida faqat j-o’rinda 1, qolganlari esa nolga teng.3
Shunday qilib , teskari matritsani topish uchun n ta chiziqli algebraik tenglamalar sitemasini aynan bir A matritsa va xar xil o’ng tomonidagi vektorlar bilan echish lozim. Bunda A matritsani Gauss metodi bilan yuqori uchburchakli ko’rinishga keltirish faqat bir marta amalga oshiriladi.So’ngra Gauss metodiga koeffitsientlar orqali barcha o’ng tomonlar hisoblanadi va xar bir o’ng tomon uchun ( ularning soni n ta ) Gauss metodining teskari yo’li bajariladi.
Teskari matritsani topish uchun 2 ta kompyuter tezkor xotirasi ( ta o’rin va ta o’rin uchun ) va 2 arifmetik amal zarur bo’ladi. Bunda Gauss metodining to’g’ri yo’li faqat bir marta bajariladi xamda arifmetik amal sarflanadi
= - -
va xar bir o’ng tomon uchun (ularning sonini n ta ) n ta teskari yo’lni bajarish kerak , u holda
=n( -n)=
arifmetik amal zarur bo’ladi.Hammasi bo’lib
Q= + = - - + = - -
arifmetik amal talab qilinadi.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
