6-Mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari. Reja

6-Mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari.

Reja:

1. Chiziqli tenlamalar sestemasini aniq va taqribiy yechish metodlari haqida tushuncha.

2. Gauss va iteratsiya metodlari.

3. Ularning hatoliklari.

4. Arifmetik amallar soni.

5. Usulning tatbiqi.

6. Determinantni va teskari matritsani hisoblash.

Tayanch so’z va iboralar: Gauss usuli, determinantni hisoblash, teskari matritsa.
1.Chiziqli tenlamalar sistemasini yechish usullari.

Bu usullar ikkita yirik guruhga bo’linadi: bevosita yechish usullari va ketma-ket yaqinlashish (iteratsiya) usullari. Bevosita yechish usullarida no’molumlarni toppish uchun chekli munosabatlar (formulalar)dan foydalaniladi. Bunday usullar sestema yechimini ilgaridan ma’lum bo’lgan amallarni bajarish orqali topishga imkon beradi.Bu usullar ancha oddiy va o’ta universal xarakterga ega. Ular keng doiradagi chiziqli algebrayik tenglamalar sestemasini yechishga yaroqlidir. Shu bilan birgalikda ularning bir qator kamchiliklari ham mavjud :

a) Kompyuter xotirasida algebrayik sestema matrisasini to’liq saqlashni taqozo qiladi, tenglamalar soni n ning katta qimatlarida kompyuter xotirasining ko’p sarflanishiga olib keladi.

b) Matrisaning strurukturasini hisobga olmaydi, juda ko’p elementlari nolga teng bo’lgan tarqoq matrisalar (masalan, kataksimon, lentasimon, uch diоganalli, besh diоgonalli)ning nol elementlari ham kompyuter xotirasidan joy egallaydi va ular bilan ham arifmetik amallar bajiriladi). Bevosita yechish usullarining eng asosiy kamchiligi sestemani yechish jarayonida yahlitlash hatolarining to’planib borishidir, chunki ixtiyoriy bosqichdagi hisoblashda o’zidan oldingi hisoblashlardagi natijalardan foydalaniladi. Shu sababli, bevosita yechish usullari sestema tartibini n unchalik katta bo’lmagan (n<200) to’liq matrisalarga ega bo’lgan va determinant nolga yaqin bo’lmagan sestamalarni yechishda qo’llaniladi.

II. Iterratsiya usullari –bu sestema yechimiga ketma-ket yaqinlashishlarni taminlaydi. Bu usullarda dastlab biror-bir taqribiy yechimni –boshlang’ich yaqinlashishni berish lozim. Ketma-ket yaqinlashish natijasida sistema yechimiga yangi yaqinlashish topiladi. Echimni malum aniqlik bilan topguncha ketma-ket yaqinlashish bajarib boriladi. Bu usullarda kompyutar xotirasida sistemaning matrisasini to’liq saqlash talab etilmaydi. Natijaviy echimdagi hato ketma-ket yaqinlashishlar (iteratsiya) usilidan foydalanilganda to’planib bormaydi, chunki har bir iteratsiyadagi hisoblash aniqligi faqat o’zidan oldingi iteratsiyadagi hisoblash natijalariga bog’liq bo’ladi va amalda ilgarigi bajarilgan hisoblashlarga bog’liq bo’lmaydi. Iteratsiya metotlari tenglamalar soni juda ko’p bo’lganda ,hamda yomon shartlangan sestemalarni yechishda juda foydalidir. ¹

2.Gauss usuli.

Quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sestemasini yechish talab qilingan bo’lsin

(5.1)

yoki qisqacha

Ixtiyoriy algebraik sestemani yechish uchun Gauss usilining asosiy g’oyasi berilgan sestema matrisasini yuqori uchburchakli ko’rinishiga keltirishdan iborat. Bu jarayon quyidagicha amalga oshiriladi. Sestema (4.1) ning birinchi tenglamasini shunday songa ko’paytirib ,uning ikkinchi tenlamasidan ayiramizki, ikkinchi tenglamadagi noma’lum oldidagi koeffesient nolga aylansin. Huddi shu tariqa birinchi tenglamani shunday sonlarga ko’paytirib uchinchi, to’rtinchi va h.k tenglamalardan ayiramiz xamda noma’lum oldidagi koeffisientlarni nolga aylantiramiz. Shunday qilib bosh dioganaldan pasda joylashgan birinchi ustundagi noma’lumlar oldidagi barcha koyfesentlar nolga aylantiriladi. So’ngra ikkinchi tenglama yordamida uchinchi, to’rtinchi va h.k tenglamalardan ikkinchi ustundagi noma’lumlar oldidagi koeffisientlar nolga aylantiriladi. Ushbu jarayonni ketma-ket da’vom ettirish natijasida matrisaning bosh diagonalidan pastda (quyida) joylashgan barcha koeffisientlar nolga aylantiriladi. Bu jarayoning umumiy fomulasini yozamiz .Aytaylik (k-1)-ustundagi noma’lumlarnolgaaylantirilgan bo’lsin. U holda bosh diagonaldan pastda nolmas elementlarga ega bo’lgan shunday tenglamalar qoladi

(5.2)
Ushbu tenglamaning k-satrini

= , m>k (5.3)

songa ko’paytiramiz va m satridan ayiramiz , m satrdagi birinchi no’lmas elementnolgaaylanadi ,qolgan elementlari esa quyidagi formula asosida o’zgaradi

= - (5.4)

= , kBu formulalar yordamida indekslarning ko’rsatilgan barcha qiymatlarida xisoblashlar o’tkazib , k-ustundagi nomalum oldidagi koeffesientlarni yo’qatamiz .Bunday yo’qatishga jarayon sikli deyiladi .Barcha sikillarning bazarilishiga Gauss usulining to’g’ri yo’li deyiladi . Barcha sikllarning bajarilishidan hosil bo’ladigan uchburchakli sestemani yozamiz:

(5.5)

yoki

(5.6)

Berilgan sestemani yuqori uchburchakli ko’rinishga keltirilganda matrisaning quyi yarmidagi katakchalar bo’shab qoladi .Matrisaning bo’sh o’rinlariga ko’paytuvchilarni joylashtiramiz, ularni eslab qolish zarur ,ular matrisani teskarilashda yoki yechimni aniqlshtirishda kerak bo’ladi. U holda kengaytirilgan matrisa quyidagi ko’rinishni oladi

…

…

…

. . . … . .

… .

Uchburchakli sestema (5.6)ning yechimi osongina teskari yo’l bilan quyidagi formula asosida hisoblanadi

(5.7)

agarda bo’lsa.