6-ma’ruza. Mavzu: Tekislikdagi to’g’ri chiziq tenglamalari

Berilgan nuqtadan berilgan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar o’tkazilgan to’g’ri chiziq tenglamasi.

Berilgan М₁х₁; у₁  nuqtadan berilgan у=kx+b to’g’ri chiziqqa perpendikulyar

o’tkazilgan to’g’ri chiziq tenglamasini topish talab etilsin (10.2) ga binoan izlanayotgan tenglama

y-y₁=k₁(х-x₁)

bo’ladi. Ikkinchi tomondan bu to’g’ri chiziq berilgan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar

bo’lgani uchun (9.10) ga asosan

k  k₁

 1

yoki

k   ¹

1 _k

bo’ladi.

Demak y-y₁= ¹ (х-x₁) (10.3)

k

Bu tenglama berilgan nuqtadan berilgan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar o’tkazilgan to’g’ri chiziq tenglamasi.

3. 
   misol (2; -1) nuqtadan utib 5x-2y+10=0 to’g’ri chiziq bilan tashkil etuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi topilsin.
   

45⁰

burchak

Yechish. Izlanayotgan to’g’ri chiziqni burchak koeffitsientini (9.7) formulaga binoan axtaramiz.

Berilgan to’g’ri chiziq tenglamasini

у  ⁵ х  5

2

ko’rinishda yozsak uning burchak

koeffitsienti

k  ⁵

1 ₂

ekani kelib chiqadi. Shartga binoan to’g’ri chiziqlar orasidagi

2
burchak   45⁰ . Izlanayotgan burchak koeffitsientni k deb belgilasak (9.7) formula


2
k  ⁵

tg 45⁰  ²

1  ⁵ k

₂ 2

ko’rinishga ega bo’ladi. Bundan

k  ⁵

1  2 ²

5

yoki 1+ ⁵ k

₂ 2
 k₂

 ⁵ ;

2
5

₂ k₂

• 
  k₂
  

  ⁵ 1;

2
3

₂ k₂

  ⁷ ;

2

k   ⁷

2 ₃
bo’ladi.

1  ₂ k₂

Shunday qilib (10.1) ga binoan izlanayotgan tenglama

у  1   ⁷ (х  2)

3

yoki 3у  3  7х 14 ,

bundan 7х  3у 11  0 bo’ladi.

Agarda k

 ⁵ ,   45⁰ deb olib (9.7) dan k ni topsak k  ³ bo’ladi. Bu holda

2 ₂ 1 1 ₇

izlanayotgan tenglama (10.1) ga binoan

y  1  ³ (x  2)

7

yoki 3х-7у-13=0 bo’ladi.

Demak masala ikkita yechimga ega ekan.

To’g’ri chiziqlarning har biri berilgan to’g’ri chiziq bilan 45⁰ burchak tashkil etganligi sababli ular o’zaro perpendikulyardir (38-chizma).




38-chizma

To’g’ri chiziqlar dastasi.

1-ta‘rif. Tekislikning M nuqtasidan o’tuvchi va shu tekislikda yotgan barcha to’g’ri chiziqlar to’plami to’g’ri chiziqlar dastasi deb ataladi.

Bunda M nuqta dastaning markazi deyiladi.

Berilgan

М₁ (х₁ ; у₁ )

nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi

y-y₁=k₁(х-x₁) (10.4)

ni qaraymiz. Bu yerdagi burchak koeffitsient k o’zgarsin. U holda k ning har bir aniq qiymatiga М₁(х₁; у₁) nuqtadan o’tuvchi aniq to’g’ri chiziq mos keladi. Aksincha abssissalar o’qiga perpendikulyar х=х₁ to’g’ri chiziqdan farqli barcha to’g’ri chiziqlar aniq k burchak koeffitsientiga ega bo’lib u (10.4) tenglama yordamida aniqlanadi.

Shunday qilib k burchak koeffitsient istalgan sonli qiymatni qabul qilganda

(10.4) tenglama x=x₁ to’g’ri chiziqdan farqli markazi M₁ x₁ ; y₁  nuqtada bo’lgan to’g’ri chiziqlar dastasini tenglamasini ifodalaydi.

4. 
   misol. Markazi А(2; -3) nuqtada bo’lgan to’g’ri chiziqlar dastasining tenglamasi yozilsin. Dastadan 0x o’q bilan 60⁰ burchak tashkil etuvchi to’g’ri chiziq ajratilsin.
   

Yechish. х₁=2; у₁=-3. (10.4) ga ko’ra dastaning tenglamasi у+3=k(х-2) bo’ladi. Shu dastadagi to’g’ri chiziqlardan 0х o’q bilan 60⁰ burchak tashkil etuvchi to’g’ri

chiziqning tenglamasini tuzamiz.

  60⁰ , k  tg 60⁰ 

bo’lgani uchun dasta

tenglamasidan

y  3 

3(x  2)

yoki y 

3 x  (2

 3)

tenglamaga ega bo’lamiz.

9. Berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi.

М₁ (х₁ ; у₁ )

va М ₂ (х₂ ; у₂ )

nuqtalar berilgan bo’lib, shu nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri

chiziq tenglamasini tuzish talab etilsin. Shartga ko’ra to’g’ri chiziq nuqtadan o’tganligi uchun uning tenglamasi (10.4) ga ko’ra

y-y₁=k₁(х-x₁)

М₁ (х₁ ; у₁ )

bo’ladi. Bu yerdagi k noma‘lum. Uni topish uchun to’g’ri chiziqning М ₂ (х₂ ; у₂ )

nuqtadan o’tishi shartidan foydalanamiz.

М ₂ (х₂ ; у₂ )

nuqta to’g’ri chiziqda

yotganligi uchun uning koordinatalari shu to’g’ri chiziq tenglamasini qanoatlantiradi, ya‘ni

Bundan

у₂  у₁  k(x₂  x₁ ) .

_{k } y₂  y_{1 .}

x₂  x₁

k ning ushbu topilgan qiymatini to’g’ri chiziq tenglamasiga qo’ysak


1

1
y  y  ^{y2  y1} (x  x )

yoki buni

у₂  у₁
ga bo’lsak

x₂  x₁

tenglamaga ega bo’ladi.

х  х_{1 }

х₂  х₁

у  у₁ у₂  у₁

(10.5)

Demak (10.5) berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasidir.

(10.5) da

х₁  х₂ ,

у₁  у₂

deb faraz qilinadi, aks holda u ma‘noga ega emas.

Boshqacha aytganda to’g’ri chiziq koordinata o’qlarining hech biriga parallel

bo’lmagan holni qaradik. Agar

х₁  х₂

bo’lsa to’g’ri chiziq 0y o’qqa parallel bo’lib,

uning tenglamasi

х  х₁ bo’ladi. Agar

у₁  у₂ bo’lsa, to’g’ri chiziq 0x o’qqa parallel

bo’lib uning tenglamasi

у  у₁

bo’ladi.

Izoh (10.5) tenglama to’g’ri chiziq koordinata o’qlarining birortasiga parallel bo’lganda ham yaroqli.

U holda (10.5) dagi qaysi kasrning maxraji nolga teng bo’lsa uning suratini ham nolga tenglashtirish kerak xolos.

5. 
   misol. Uchlari А(2;3), В(-1;4), С(5;5) nuqtada bo’lgan uchburchakning og’irlik markazidan uning AC tomoniga parallel o’tkazilgan to’g’ri chiziq va undan AB tomoniga perpendikulyar o’tkazilgan to’g’ri chiziqlar topilsin.
   

Yechish. Uchburchakning og’irlik markazi M ni topamiz. Ma‘lumki uchburchak og’irlik markazining koordinatalari uning uchlarining nomdosh koordinatalarining o’rta arifmetigiga teng, ya‘ni uchlari А( х₁ ; у₁ ), В( х₂ ; у₂ ), С( х₃ ; у₃

) nuqtalarda bo’lgan uchburchak og’irlik markazi М( х_с ; у_с ) nuqtaning koordinatalari

_{х } х₁  х₂  х_{3 ,}

с ₃

у_с 

у₁  у₂  у₃

3

formulalar yordamida topiladi.

Biz qarayotgan holda

_{х } 2  (1)  5 _{ 2 ,}

с <sub>3

у </sub> 3  4  5 _{ 4}

с ₃

va М(2;4).

Berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi (10.5) ga asoslanib uchburchakning AC va AB tomonlari tenglamalari topiladi. (10.5) ga A va B nuqtaning koordinatalarini qo’ysak

х  2 _

1  2

у  3

4  3

yoki у-3= ^{(х  2)}

3

bo’ladi.

Bundan AB to’g’ri chiziq tenglamasi

у   ^х  ²  3 yoki у   ¹ х  3 ²

ga ega

bo’lamiz.

3 3 3 3

Shuningdek (10.5) ga A va C nuqtalarni koordinatalarini qo’yib AC tomon tenglamasini topamiz:

х  2 _ у  3

yoki

х  2 _ у  3 _.

5  2 5  3 3 2

Bundan

^{у  3  2 (х  2) yoki} у  ² х  ⁵

ga ega bo’lamiz.

3 3 3

(10.2) ga asosan M(2;4) nuqtadan

у  ² х  ⁵

to’g’ri chiziqqa (AC tomonga) parallel

3 3

o’tkazilgan to’g’ri chiziq tenglamasini topamiz: х₁=2, у₁=4, k= ² bo’lgani uchun

3

у  4  ² (х  2)

3

yoki 3у-12=2х-4 va bundan 2х-3у+8=0 AC tomonga parallel to’g’ri

chiziq tenglamasi kelib chiqadi.

Endi (10.3) dan foydalanib M(2;4) nuqtadan uchburchakning AB tomoniga

o’tkazilagn perpendikulyar to’g’ri chiziq tenglamasini topamiz: х₁=2, у₁=4, k=  ¹

3

ekanini hisobga olsak

у-4=3(х-2) yoki у=3х-6+4, bundan у=3х-2 bo’ladi.