6 – vazifa. Mavzu: Uluksiz tasodifiy miqdor va uning sonli xarakteristikalarini topish

---

6 – vazifa. Mavzu: Uluksiz tasodifiy miqdor va uning sonli
xarakteristikalarini topish. 
Birorta 
chekli 
yoki 
cheksiz 
oraliqdagi 
barcha 
qiymatlarni 
qabul 
qilishi 
mumkin 
bo‘lgan 
tasodifiy 
miqdor 
uzluksiz 
tasodifiy miqdor 
deyiladi. 
Uzluksiz tasodifiy miqdor: 
1) integral funksiya (taqsimot funksiya)si orqali, 
2) ehtimolliklarning taqsimot zichligi (differensial funksiya) orqali berilishi 
mumkin. 
X 
uzluksiz tasodifiy mikdor ehtimolliklarining 
taqsimot zichligi 
deb, taqsimot 
funksiyasi 
G‘(x) 
ning birinchi tartibli hosilasi bo‘lgan 
 
x
f
 
funksiyaga aytiladi. 
X 
uzluksiz tasodifiy miqdorning 
 
b
a
,
 
oraliqqa tegishli qiymatni qabul qilishi 
ehtimolligi quyidagi tenglik bilan aniqlanadi: 


 
.




b
a
dx
x
f
b
X
a
P
Zichlik funksiyasi 
 
x
f
ni bilgan holda ushbu formula bo‘yicha taqsimot 
funksiyasini topish mumkin: 
 
 
.




x
dx
x
f
x
F
Zichlik funksiyasining xossalari:
1.Zichlik funksiyasi manfiy emas, ya’ni 
 
0

x
f
2.Zichlik funksiyasidan


dan 


gacha oraliqda olingan xosmas integral 
birga teng: 
 
.
1





dx
x
f
Xususan, agar tasodifiy miqdorning barcha mumkin bo‘lgan qiymatlari 
 
b
a
,
oraliqqa tegishli bo‘lsa, u holda: 
 
.
1


b
a
dx
x
f
Uzluksiz tasodifiy miqdor mumkin bo‘lgan qiymatlarini butun son o‘qida qabul 
qilsin, 
 
x
f
 
uning zichlik funksiyasi bo‘lsin. 

---

Agar 
 




dx
x
f
x
 
integral mavjud bo‘lsa, 
 




dx
x
xf
 
integral
X 
uzluksiz
tasodifiy miqdorning matematik kutilishi deyiladi, ya’ni 
 
 





dx
x
xf
X
M
Agar mumkin bo‘lgan barcha qiymatlar
 
b
a
,
 
oraliqqa tegishli bo‘lsa, u 
holda 
 
 


b
a
dx
x
xf
X
M
Izoh.
Matematik kutilishning diskret tasodifiy miqdorlar uchun xossalari uzluksiz 
tasodifiy miqdorlar uchun ham o‘rinli. 
X 
uzluksiz tasodifiy mikdorning mumkin bo‘lgan qiymatlari 
Ox
 
o‘qida yotsa, 
uning dispersiyasi quyidagi tenglik orqali aniqlanadi: 
 
 


 






dx
x
f
X
M
x
X
D
2
yoki 
 
 
 


2
2
X
M
dx
x
f
x
X
D






Agar 
X 
uzluksiz tasodifiy miqdorning mumkin bo‘lgan barcha qiymatlari 
 
b
a
,
 
oraliqqa tegishli bo‘lsa, u holda 
 
 


 



b
a
dx
x
f
X
M
x
X
D
2
yoki 
 
 
 


2
2
X
M
dx
x
f
x
X
D
b
a



Izoh:
Dispersiyaning diskret tasodifiy miqdorlar uchun xossalari uzluksiz 
tasodifiy miqdorlar uchun ham o‘rinli. 
Tasodifiy miqdorning 
o‘rta kvadratik chetlanishi 
deb dispersiyadan olingan 
kvadrat ildizga aytiladi: 

---

 
 
X
D
X


Misol.
X 
uzluksiz tasodifiy mikdorning zichlik funksiyasi berilgan: 
 














.
3
x
агар
,
0
,
3
6
агар
,
3
sin
3
,
6
агар
,
0




x
x
x
x
f
X 
tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari 
     
X
X
D
X
M

,
,

larni 
toping. 
Yechish: 
 
 






3
6
3
sin
3


xdx
x
dx
x
xf
X
M
b
a
















3
6
3
6
3
6
3
cos
3
1
3
cos
3
1
3
3
sin
3






xdx
x
x
xdx
x







x
v
dx
du
xdx
dv
x
u
3
cos
3
1
3
sin











6
3
sin
9
1
3
]
2
cos
6
cos
3
][
3
1
[
3
x
.
7133
.
0
3
1
3
1
3
]
2
sin
[sin
3
1
]
0
3
[























 




3
6
2
2
2
2
.
3
1
3
sin
3
]]
[
[
]
[
]
[



xdx
x
X
M
dx
x
f
x
x
D
b
a
Keyingi integralni hisoblab olamiz: 


















x
v
xdx
dv
xdx
du
x
u
xdx
x
3
cos
3
1
3
sin
2
3
sin
3
2
3
6
2










3
6
2
3
6
3
6
2
3
cos
]
3
cos
3
2
3
cos
3
1
[
3






x
x
xdx
x
x
x

---


















3
6
2
2
3
6
3
sin
3
1
2
2
cos
36
cos
9
3
sin
2








x
x
xdx
x












x
v
dx
du
xdx
dv
x
u
xdx
3
sin
3
1
3
cos
3
sin
3
1
3
6






















3
6
2
3
cos
3
1
3
2
2
sin
6
sin
3
3
2
9







x
 
;
9
2
1
9
2
9
9
2
cos
cos
9
2
9
9
2
2
2

























 












 




9
1
2
9
2
3
1
9
2
2
2
2
2







X
D
.
0155
.
0
9
3
9
1
2
2
2
2














 
 
.
1245
.
0
0155
.
0



X
D
X

Mustaqil yechish uchun misollar.
№1 – topshiriq
1.
X tasodifiy miqdor 
F(X)
taqsimot funksiyasi orqali berilgan: 













,
2
,
1
,
2
1
),
4
3
(
10
1
,
1
,
0
)
(
2
x
агар
x
агар
x
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
2.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 

















,
0
,
1
,
0
5
1
,
1
5
,
5
1
,
0
)
(
x
агар
x
агар
x
x
агар
X
F

---

Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
3.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 
















,
2
,
1
,
2
,
2
cos
2
,
,
0
)
(




x
агар
x
агар
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
4.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 












,
4
,
1
,
4
0
,
2
,
0
,
0
)
(
x
агар
x
агар
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
5.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 











,
4
,
1
,
4
4
,
4
ln
,
4
,
0
)
(
e
x
агар
e
x
агар
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 

---

6.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 












,
1
,
1
,
1
0
),
2
2
(
3
1
,
0
,
0
)
(
2
x
агар
x
агар
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
7.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 












,
1
,
1
,
1
0
),
(
2
1
,
0
,
0
)
(
3
x
агар
x
агар
x
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
8.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 















,
3
1
,
1
,
3
1
0
,
2
3
,
0
,
0
)
(
2
x
агар
x
агар
x
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
9.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 














,
6
,
1
,
6
0
,
sin
2
,
0
,
0
)
(


x
агар
x
агар
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
10.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 

---














,
2
,
1
,
2
1
),
4
3
(
6
1
,
1
,
0
)
(
2
x
агар
x
агар
x
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
11.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 















,
2
,
1
,
2
3
1
),
1
3
(
5
1
,
3
1
,
0
)
(
x
агар
x
агар
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
12.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 













,
0
,
1
,
0
1
,
1
,
1
,
0
)
(
x
агар
x
агар
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
13.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 











,
3
,
1
,
3
3
,
3
ln
,
3
,
0
)
(
e
x
агар
e
x
агар
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
14.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 

---















,
,
1
,
4
3
,
2
cos
,
4
3
,
0
)
(




x
агар
x
агар
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
15.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 














,
1
,
1
,
1
1
),
1
(
2
1
,
1
,
0
)
(
x
агар
x
агар
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
16.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 












,
3
,
1
,
3
0
,
9
,
0
,
0
)
(
2
x
агар
x
агар
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
17.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 













,
3
,
1
,
3
2
),
2
3
(
2
1
,
2
,
0
)
(
2
x
агар
x
агар
x
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
18.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 

---













,
4
,
1
,
4
2
,
1
2
1
,
2
,
0
)
(
x
агар
x
агар
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
19.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 
















,
1
,
1
,
1
2
1
),
1
2
(
2
1
,
2
1
,
0
)
(
2
x
агар
x
агар
x
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
20.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 










,
2
,
1
,
2
0
,
2
cos
,
0
,
0
)
(
x
агар
x
агар
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
21.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 












,
2
,
1
,
2
0
),
2
(
12
1
,
0
,
0
)
(
3
x
агар
x
агар
x
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
22.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 

---












,
2
,
1
,
2
2
,
2
ln
,
2
,
0
)
(
e
x
агар
e
x
агар
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
23.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 














,
2
,
1
,
2
0
,
2
sin
2
,
0
,
0
)
(


x
агар
x
агар
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
24.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 










,
1
,
1
,
1
0
,
,
0
,
0
)
(
3
x
агар
x
агар
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
25.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 

















,
2
,
1
,
2
2
1
),
1
2
(
5
1
,
2
1
,
0
)
(
x
агар
x
агар
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
26.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 

---













,
2
,
1
,
2
1
),
(
2
1
,
1
,
0
)
(
2
x
агар
x
агар
x
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
27.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 










,
3
,
1
,
3
2
,
2
cos
,
2
,
0
)
(
x
агар
x
агар
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
28.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 
















,
0
,
1
,
0
2
,
2
cos
,
2
,
0
)
(
x
агар
x
агар
x
x
агар
X
F


Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
29.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 











,
2
,
1
,
2
1
,
1
,
1
,
0
)
(
x
агар
x
агар
x
x
агар
X
F
Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing. 
30.
X tasodifiy miqdor 
)
(
x
F
taqsimot funksiyasi bilan berilgan: 











,
5
,
1
,
5
5
,
5
ln
,
5
,
0
)
(
e
x
агар
e
x
агар
x
x
агар
X
F

---

Zichlik funksiya 
)
(
),
(
),
(
),
(
x
x
D
x
M
x
f

larni toping. 
)
(
x
F
va 
)
(
x
f
funksiyalarining 
grafigini chizing.