6- ma’ruza O’rtacha miqdorlar

1-Misol. O’rtacha miqdorni printerdan chiqarilgan natijadan aniqlash – o’rtacha benzin sarfi

Muammo. 1-jadvalda berilgan 100 ta EPA bosib o’tilgan masofa uchun benzin sarfi o’rtacha miqdorni aniqlang.

1-jadval Atof muhitni himoya qilish agentligining 100 ta avtomobil bo’yicha bosib o’tilgan masofa ma’lumotlari
36.3	41.0	36.9	37.1	44.9
32.7	37.3	41.2	36.6	32.9
40.5	36.5	37.6	33.9	40.2
36.2	37.9	36.0	37.9	35.9
38.5	39.0	35.5	34.8	38.6
36.3	36.8	32.5	36.4	40.5
41.0	31.8	37.3	33.1	37.0
37.0	37.2	40.7	37.4	37.1
37.1	40.3	36.7	37.0	33.9
39.9	36.9	32.9	33.8	39.8
36.8	30.0	37.2	42.1	36.7
36.5	33.2	37.4	37.5	33.6
36.4	37.7	37.7	40.0	34.2
38.2	38.3	35.7	35.6	35.1
39.4	35.3	34.4	38.8	39.7
36.6	36.1	38.2	38.4	39.3
37.6	37.0	38.7	39.0	35.8
37.8	35.9	35.6	36.7	34.5
40.1	38.0	35.2	34.8	39.5
34.0	36.8	35.0	38.1	36.9

Echish. 100 ta avtomobilning bosib o’tilgan masofa bo’yicha benzin sarfining o’rtacha miqdori quyidagicha belgilanadi:



ning qiymatini qo’lda hisoblash (yoki kalkulyatorda) mumkin bo’lsada, biz o’rtachaning qiymatini aniqlashda SAS dasturidan foydalandik. SAS dasturidan chiqarilgan natija 2-rasmda tasvirlangan. Tanlanma to’plam o’rtacha miqdori, rasmda ajratib ko’rsatilgan, ni tashkil etadi.



2-rasm. 100 ta EPA benzin sarfi uchun SAS dasturining miqdoriy tasviriy o’lchovlari

Ortga nazar tashlash.Berilgan ushbu ma’lumotlardan bosib o’tilgan masofa reytingining o’rtachasi ≈37 atrofida ekanligini ko’rishingiz mumkin. Nisbiy chastota gistogrammasini o’rganish haqiqatda t taqsimotning markazi yaqiniga tushishini tasdiqlaydi.

Tanlama to’plam o’rtachasi tanlama to’plam ma’lumotlari asosida bosh to’plam to’g’rsida xulosa chiqarish haqidagi maqsadimizni amalga oshirishda muxim rol o’ynaydi. Shu sababdan, biz bosh to’plamning o’rtachasi, ya’ni bosh to’plamning har bir elementiga mos keluvchi ko’rsatkichlar qatorining o’rtachasi uchun boshqa belgidan foydalanishimiz lozim. Biz bosh to’plam o’rtachasi uchun grek harfi µ (myu) dan foydalanamiz.

Tanlama va bosh to’plam o’rtachalari uchun belgilar Ushbu matnda biz bosh to’plamni sonli tasvirlash o’lchovlarini aks ettirish uchun grek harflaridan, tanlama to’plamning mos sonli tasvirlash o’lchovlarini aks ettirish uchun rim harflaridan foydalanishning umumiy siyosatini qabul qilamiz.O’rtacha uchun belgilar: = tanlama to’plam o’rtachasi µ = bosh to’plam o’rtachasi

Biz ko’p xollarda tanlama to’plam o’rtachasi dan bosh to’plam o’rtachasi μ ni baholash (xulosa qilish) uchun foydalanamiz. Misol uchun, hamma avtomobillarni o’z ichiga oluvchi EPA ning bosib o’tilgan yo’l bo’yicha o’rtachasining qiymati biror µ ga teng. 100 ta avtomobilning yurgan masofasi o’rtachasi avtomobil= 36.9940. Agar, odatdagidek biz butun to’plam uchun ma’lumotlarni olish imkonimiz bo’lmasa, biz dan µ baholovchi sifatida foydalanishimiz mumkin. Keyin, biz xulosalarimizning ishonchliligi to’g’risida nimadir bilishimiz kerak. Ya’ni, µ ni baholashda dan qay darajadagi aniqlikni kutishimiz mumkinligini bilishimiz lozim. 7-bobda biz shuni aniqlaymizki, ushbu aniqlik ikkita omilga bog’liq bo’ladi:

1. Tanlama to’plam o’lchami. Tanlama to’plam o’lchami qanchalik katta bo’lsa, baholash ham shuncha aniq bo’ladi.

2. Ma’lumotlarning variatsiyasi yoki tarqoqligi. Boshqa barcha omillar o’zgarishsiz qolganda, ma’lumotlar qanchalik o’zgaruvchan bo’lsa, aniqlik shunchalik past bo’ladi.

O’rtacha garmonik. Statistikada o’rtacha arifmetik bilan bir qatorda o’rtacha garmonik ham keng qo’llaniladi.

O’rtacha garmonik– bu o’rtacha arifmetik miqdorning teskari , ya’ni z=-1 bo’lgan darajasiga tengdir.

O’rtacha garmonik miqdor ham o’rtacha arifmetik miqdorga o’xshab oddiy va tortilgan shakllariga ega.

Agarda variantlar va ularning chastotalari ko’paytmasining yig’indisi bir xil bo’lsa, oddiy o’rtacha garmonik formulasi qo’llaniladi.

Berilgan yoki keltirilgan variatsion qatorlarda chastotalar har bir variant bo’yicha noma’lum bo’lib, ularning o’rniga variantlar va chastotalarning ko’paytmasi berilgan bo’lsa, o’rtacha miqdorni hisoblashda garmonik tortilgan formuladan foydalaniladi:

6.3. O’rtacha arifmetik miqdorning matematik hossalari va undan statistikada foydalanish

O’rtacha arifmetik miqdorlar bir qator xossalarga ega. Ulardan eng muhimlari quyidagilar:

1.O’rtachaning chastotalar yig’indisiga ko’paytmasi variantlar va chastotalar ko’paytmasining yig’indisiga tengdir:




Bizning misolimizda (2-jadval) bu quyidagicha:

2. Agarda har bir variantdan (x) qandaydir bir A sonini ayirsak,

yangi o’rtacha o’sha A soniga kichik bo’ladi:

bu erdan

3. Agarda har bir variantga (x) qandaydir bir A sonini qo’shsak, yangi o’rtacha o’sha A soniga katta bo’ladi:

4.Agarda har bir variantni (x) qandaydir bir A soniga bo’lsak, yangi o’rtacha haqiqiy o’rtachaga nisbatan A marta kichik bo’ladi.

5. Agarda har bir variantni (x) qandaydir bir A soniga ko’paytirsak, yangi o’rtacha haqiqiy o’rtachaga nisbatan A marta katta bo’ladi:

bu yerdan

6. Agarda chastotalarni qandaydir bir A soniga bo’lsak yoki ko’paytirsak, yangi o’rtacha o’zgarmaydi. Nimaga bunday? O’rtacha arifmetikni hisoblashda chastotalar bor yo’g’i vazn rolini o’ynaydi. Chastotalarning sonini oshirish yoki kamaytirish bilan, variantlarning ulush qiymati o’zgarmaydi.

7. Variantlar bilan o’rtacha arifmetik o’rtasidagi tafovut yig’indisi doimo nolga teng.

Yuqorida ko’rib chiqilgan o’rtacha arifmetikni xossalarini o’rganishdan maqsad nima degan savol tug’ilishi mumkin. Maqsad - hisob-kitoblarni osonlashtirish, tezlashtirish va tekshirish.

6.4. Tuzilmaviy o’rtachalar turlari va ulardan statistik tadqiqotlarda foydalanish^*
Markaziy tendentsiyani o’lchashning boshqa muhim o’lchovlaridan biri medianadir.

Sonli ma’lumotlar qatorining medianasi – bu ko’rsatkichlar o’sib borish (yoki kamayish) tartibida joylashtirilgandagi eng o’rtadagi ko’rsatkichdir.

Mediana katta hajmdagi ma’lumotlar qatorini tasvirlashda muhim ahamiyatga ega.Agar ma’lumolar qatori nisbiy chastota gistogrammasi (3-rasm) orqali tavsiflansa, mediana x-o’qidagi shunday nuqtaki, gistogramma ostidagi sohaning yarmi medianadan yuqorida, yarmi esa pastda yotadi.Biz tanlama to’plam medianasini M bilan belgilaymiz.



3-rasm. Mediananing joylashishi