|
7-Teorema. (Riman teoremasi).
Agar
1
n
n
a
qator shartli
yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda
A
(chekli yoki cheksiz) son olinganda ham
berilgan qator hadlarining o`rinlarini shunday almashtirish mumkinki,
hosil bo`lgan qatorning yig`indisi xuddi shu A ga teng bo`ladi.
4
0
Cheksiz ko`paytmalar
Bizga
,...
,...,
,
2
1
n
p
p
p
sonlar ketma-ketligi berilgan bo`lsin. Ulardan tuzilgan
1
2
1
...
...
n
n
n
p
p
p
p
(21)
simvolga
cheksiz ko`paytma
deyiladi. Ushbu
n
k
k
n
p
P
1
,...
2
,
1
n
ko`paytmalarga
xususiy ko`paytmalar
deb ataladi.
Ta`rif.
Agar
n
P
xususiy ko`paytmalar
n
da chekli yoki cheksiz
P limitga ega bo`lsa
,
lim
P
P
n
n
bu limitni (21)-ko`paytmaning
qiymati
deb ataladi va
1
n
n
p
P
kabi yoziladi. Agar
0
P
va chekli bo`lsa, u holda ko`paytma
yaqinlashuvchi
,
aks holda
uzoqlashuvchi
deyiladi.
Bundan buyon cheksiz ko`paytmalarni tekshirayotganimizda
0
n
p
deb faraz qilamiz.
Cheksiz ko`paytmalarning birinchi m ta hadini tashlab yuborib
1
2
1
...
m
n
m
m
n
m
p
p
p
(22)
qoldiq ko`paytma
ni hosil qilamiz.
171
1-Teorema.
Agar (21)-ko`paytma yaqinlashsa, (22)-ko`paytma
yaqinlashadi va aksincha, (22)-ko`paytmaning yaqinlashidan (21)-
ko`paytmaning yaqinlashishi kelib chiqadi.
2-Teorema.
Agar (21)-cheksiz ko`paytma yaqinlashuvchi bo`lsa,
unda
1
lim
m
m
bo`ladi.
3-Teorema. (Cheksiz ko`paytma yaqinlashishining zaruriy
sharti).
Agar (21)-ko`paytma yaqinlashuvchi bo`lsa u holda
1
lim
n
n
p
bo`ladi.
Yaqinlashuvchi cheksiz ko`paytmalar uchun 3-teoremaga ko`ra
1
lim
n
n
p
Biror nomerdan boshlab hamma
n
p
lar
0
bo`ladi. Demak,
umumiylikka ziyon keltirmasdan, barcha
n
p
lar uchun
0
n
p
deb faraz
qilishimiz mumkin.
4-Teorema.
(21)-cheksiz ko`paytma yaqinlashuvchi bo`lishi uchun
1
ln
n
n
p
(23)
qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi zarur va yetarlidir. Agar bu shart
bajarilsa va (23)-qatorning yig`indisi S bo`lsa, unda
S
e
P
bo`ladi.
Agar
n
n
a
p
1
bo`lsa, unda
1
n
n
p
1
1
n
n
a
bo`lib, 4-teoremaga
ko`ra
(21)-ko`paytmaning
yaqinlashuvchi
bo`lishi
uchun
ushbu
1
1
ln
n
n
a
qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi zarur va yetarli ekanligini
hosil qilamiz.
5-Teorema
Agar biror
N
n
0
nomerdan boshlab, barcha
0
n
n
lar
uchun
0
n
a
(yoki
0
n
a
) bo`lsa, (21)-cheksiz ko`paytmaning
yaqinlashuvchi bo`lishi uchun
1
n
n
a
(24)
qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi zarur va yetarlidir.
172
Umumiy holda, ya`ni
n
a
lar ishorani saqlamagan va (24)-qator
yaqinlashgan holda, (21)-cheksiz ko`paytmaning yaqinlashuvchi bo`lishi
uchun
1
2
n
n
a
(25)
qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi zarur va yetarlidir.
Agar (23)-qator absolut yoki shartli yaqinlashsa, unda (21)-cheksiz
ko`paytma
absolut yoki shartli yaqinlashuvchi
deyiladi.
(21)-
ko`paytmaning absolut yaqinlashuvchi bo`lishi uchun (24)-qatorning
absolut yaqinlashuvchi bo`lishi zarur va yetarli.
Nazorat savollari.
1. Sonli qator tushunchasi.
2. Sonli qator yaqinlashishining ta`rifi.
3. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti.
4. Qator yaqinlashishi uchun Koshi kriteriyasi.
5. Musbat qatorlar uchun Veyershtrass kriteriyasi.
6. Birinchi taqqoslash alomati.
7. Ikkinchi taqqoslash alomati.
8. Dalamber alomati.
9. Koshi alomati.
10. Rabee alomati.
11. Gauss alomati.
12. Koshining integral alomati.
13. Ixtiyoriy hadli qatorlar va ularning yaqinlashishi.
14. Leybnis alomati.
15. Dirixle alomati.
16. Abel alomati.
17. Absolut yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari.
18. Shartli yaqinlashuvchi qatorlar.
19. Riman teoremasi.
20. Cheksiz ko`paytmalar va ularning yaqinlashishi.
21. Cheksiz ko`paytma yaqinlashishining zaruriy sharti.
22. Cheksiz ko`paytma yaqinlashishining zaruriy va yetarli shartlari.
173
-B-
Mustaqil yechish uchun misol va masalalar.
1-masala. Qator yig`indisini toping.
1.1
1
2
.
5
12
9
6
n
n
n
1.2
2
2
.
5
12
9
24
n
n
n
1.3
1
2
.
8
6
9
6
n
n
n
1.4
1
2
.
8
21
9
9
n
n
n
1.5
1
2
.
3
8
4
2
n
n
n
1.6
1
2
.
45
28
49
14
n
n
n
1.7
1
2
.
2
3
9
3
n
n
n
1.8
1
2
.
12
7
49
7
n
n
n
1.9
2
2
.
2
1
n
n
n
1.10
1
2
.
48
14
49
14
n
n
n
1.11
1
2
.
5
24
36
6
n
n
n
1.12
1
2
.
13
84
49
14
n
n
n
1.13
1
2
.
3
4
4
4
n
n
n
1.14
1
2
.
6
35
49
7
n
n
n
1.15
1
2
.
20
3
9
9
n
n
n
1.16
1
2
.
15
8
16
8
n
n
n
1.17
1
2
.
10
21
49
7
n
n
n
1.18
1
2
.
9
4
6
n
n
1.19
1
2
.
6
35
49
7
n
n
n
1.20
1
2
.
35
12
36
12
n
n
n
1.21
1
2
.
2
3
9
3
n
n
n
2-masala. Qator yig`indisini toping.
2.1
1
.
2
1
8
3
n
n
n
n
n
2.2
1
.
2
1
2
n
n
n
n
n
2.3
1
.
1
3
3
n
n
n
n
n
2.4
1
.
2
1
1
n
n
n
n
n
2.5
3
.
2
1
4
n
n
n
n
2.6
3
.
2
1
4
n
n
n
n
n
174
2.7
3
.
1
1
1
3
n
n
n
n
n
2.8
1
.
3
1
9
5
n
n
n
n
n
2.9
1
.
2
1
4
n
n
n
n
n
2.10
3
.
2
1
1
10
8
n
n
n
n
n
2.11
2
2
.
1
1
n
n
n
2.12
3
2
.
1
1
3
n
n
n
n
2.13
1
.
3
1
1
n
n
n
n
n
2.14
1
.
2
1
2
3
n
n
n
n
n
2.15
1
.
2
1
6
n
n
n
n
n
2.16
3
2
.
1
2
5
n
n
n
n
2.17
3
.
1
1
2
n
n
n
n
n
Do'stlaringiz bilan baham: |
