6- §. Bo‘laklashlar kombinatorikasi

5- misol. 4- misolda qaralgan 14=5+3+2+2+1+1 bo‘laklashga mos Ferrers diagrammasiga qo‘shma diagrammani 2- shakldagidek tasvirlash mumkin. Mos qo‘shma bo‘laklash esa: 14=6+4+2+1+1. ■

6.3. Bo‘laklashlarning xossalari. Quyidagi uchta 3–5- teoremalar bo‘laklashlarning ba’zi xossalarini ifodalaydi.

3- teorema. Ixtiyoriy natural sonning har xil natural qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlari soni shu sonning toq qo‘shiluvchlarga bo‘laklanishlari soniga teng.

Isboti. natural sonning toq qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlaridan ixtiyoriy birini qaraymiz:

,

bu yerda har bir ( ) qo‘shiluvchi bo‘laklanishda ( ) marta qatnashadi. sonning ikkilik sanoq sistemasidagi tasvirlanishini yozamiz, bunda qandaydir ( ta) butun sonlar.

Qaralayotgan sonning yuqoridagi bo‘laklanishida ta qo‘shiluvchilarni bir-biridan farqli qo‘shiluvchilarga almashtiramiz. Tabiiyki, bunday almashtirish ta qo‘shiluvchilar yig‘indisining qiymatini o‘zgartirmaydi. Shu jarayonni barcha qiymatlar uchun takrorlab va qo‘shiluvchilarning mos qiymatlarini yozib, sonning har xil qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlaridan birini hosil qilamiz, chunki , sonlarning toqligi tufayli bo‘ladi.

Shunday qilib, sonning toq qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlaridan har biriga shu sonning har xil qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlaridan biri mos kelishi isbotlandi. Bu tasdiqning teskarisini ham isbotlash mumkin. ■