6- §. Bo‘laklashlar kombinatorikasi

1- misol. Faqat bir yo‘nalishda harakatlanganda besh pog‘onali zinapoyani hatlab o‘tish imkoniyatlari sonini aniqlash talab etilgan bo‘lsin.

Tabiiyki, har bir qadamda faqat bittadan pog‘onani bosib o‘tib, zinapoyani 5 qadamda hatlab o‘tish mumkin. Bu harakatni 5 sonning ko‘rinishda bo‘laklanishi kabi ifodalab, ekanligini qayd etamiz. Zinapoyani 4 qadamda ham hatlab o‘tish mumkin, bu ishning imkoniyati bor: , , va . Shu usulda davom etib, 3 qadam uchun ta – , , , , , hamda 2 qadam uchun ta – , , , tengliklarni yozamiz. Endi barcha pog‘onalarni bir qadamda hatlab o‘tishga imkoniyat va tenglik mos kelishini e’tiborga olsak, mumkin bo‘lgan barcha imkoniyatlarni bayon qilgan bo‘lamiz.

Shunday qilib, faqat bir yo‘nalishda harakatlanganda besh pog‘onali zinapoyani hatlab o‘tish imkoniyatlari soni

bo‘ladi. ■

Endi va miqdorlarni hisoblash formulalarini topish bilan shug‘ullanamiz.

Dastlab bolgan holni qaraymiz. Tabiiyki, birni natural sonlar yig‘indisi qilib bo‘laklash haqida gap bo‘lishi mumkin emas. Shunday bo‘lishiga qaramasdan, birni faqat bitta qo‘shiluvchidan iborat deb qarab, yuqorida berilgan ta’rifga mos keluvchi ta bo‘laklashga ega bo‘lamiz. Jami bo‘laklashlar soni bo‘ladi¹.

bo‘lgan holda qo‘shiluvchili ta ( ) va qo‘shiluvchili ta ( ) bo‘laklashlarga ega bo‘lamiz. Bu hol uchun jami bo‘laklashlar soni

.

Agar bo‘lsa, u holda qo‘shiluvchili ta ( ), qo‘shiluvchili ta ( ) va qo‘shiluvchili ta ( ) bo‘laklashlar bor. Bu holda jami bo‘laklashlar soni uchun

tenglik o‘rinlidir.

Shunday davom etib, “istalgan natural sonning ta qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlari soni ( )ta elementdan ( )talab gruppalashlar soniga teng, ya’ni ” degan farazga kelish mumkin. Agar bu faraz tasdiqlansa, binomial koeffitsientlarning yig‘indisi haqidagi xossasiga ko‘ra, bo‘ladi.