5-mavzu. Tasоdifiy miqdоrlarning sоnli хaraktеristikalari

1. Matematik kutilma va uning xossalari.

X tasodifiy miqdor matematik kutilmasi deb, qator yig‘indisiga aytiladi va

(1)

orqali belgilanadi.

Matematik kutilmaning ma’nosi shuki, u tasodifiy miqdor o‘rta qiymatini ifodalaydi. Haqiqatan ham ekanligini hisobga olsak, u holda

.

Uzluksiz tasodifiy miqdor matematik kutilmasi deb

(2)

integralga aytiladi. (2) integral absolut yaqinlashuvchi, ya’ni bo‘lsa matematik kutilma chekli, aks holda matematik kutilma mavjud emas deyiladi.

Matematik kutilmaning xossalari:

1. 
   O‘zgarmas sonning matematik kutilmasi shu sonning o‘ziga teng, ya’ni
   

MC=C.

2. 
   O‘zgarmas ko‘paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin,
   

M(CX)=CMX.

3. 
   Yig‘indining matematik kutilmasi matematik kutilmalar yig‘indisiga teng,
   

M(X+Y)=MX+MY.

4. 
   Agar XY bo‘lsa,
   

M(XY)=MXMY.

Isbotlar: 1. O‘zgarmas C sonni faqat 1 ta qiymatni bir ehtimollik bilan qabul qiluvchi tasodifiy miqdor sifatida qarash mumkin. Shuning uchun MC=CP{X=C}=C1=C.

2. CX diskret tasodifiy miqdor qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qilsin, u holda .

3. X+Y diskret tasodifiy miqdor qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qiladi, u holda ixtiyoriy n va m lar uchun

Bu yerda va bo‘ladi. Chunki, ,

.

4. Agar XY bo‘lsa, u holda

va

Matematik kutilmaning xossalari tasodifiy miqdor uzluksiz bo‘lganda ham huddi shunga o‘xshash isbotlanadi. Masalan, .

1-misol. X diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni berilgan bo‘lsa, X tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping.

X	500	50	10	1	0
P	0.01	0.05	0.1	0.15	0.69

MX=5000.01+500.05+100.1+10.15+00.69=8.65.

2-misol. X uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi berilgan .

C va MX ni toping.

Zichlik funksiyaning 4-xossasiga ko‘ra . Demak, va .

Endi matematik kutilmani hisoblaymiz:

.

3-Misol. Musbat butun sonlarni qabul qiluvchi -tasodifiy miqdor uchun bo‘lsin. U holda

va demak,