5-ma‘ruza. Mavzu: Tasodifiy miqdorlar Reja

5-misol. Diskret tasodfiy miqdor ushbu taqsimot qonuni bilan berilgan:

	1	3	5	6
	0,3	0,1	0,2	0,4

Taqsimot ko’p burchagini yasang.

Yechilishi. To’g’ri burchakli koordinatalar sistemasining abssissalar o’qi bo’ylab qiymatlarni, ordinatalar o’qi bo’ylab ularga mos qiymatlarni qo’yamiz. Hosil bo’lgan nuqtalarni yasaymiz. Bu nuqtalarni siniq chiziq bilan tutashtirib, taqsimot ko’pburchagini hosil qilamiz (2-chizma).

2-chizma.

6-misol. Idishda 10 ta shar bo’lib ulardan 3 tasi oq. Idishdan tavakkaliga 3 ta shar olindi. X tasodifiy miqdor–olingan oq sharlar soni. Shu tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni yozilsin.
Yechilishi. Х tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari quyidagicha:
Tanlama haqidagi masalada chiqarilgan

formuladan foydalanamiz. Bu formula yordamida orasida M ta oq shar bo’lgan N ta sharlardan tavakkaliga n ta shar olinganda ular orasida rosa m ta oq shar bo’lish ehtimolligi topiladi.
Х=0, Х=1, Х=2, Х=3 hodisalarning ehtimolliklarini topamiz: N=10, M=3, n=3, m=0, 1, 2, 3.
, ,
,
Endi X tasodifiy miqdorning taqsimot qatorini yozamiz:

	0	1	2	3
					.

Tekshirish: + + + = =1.
3-tarif. X tasodifiy miqdorning eng katta ehtimollik qiymati uning modasi deb ataladi. 5-misolda tasodifiy miqdorning modasi X=1 ga teng.


5.3. Ehtimolliklarning binomial va Puasson taqsimotlari
Ehtimolliklarning binomial taqsimoti deb, Bernulli formulasi bilan aniqlanadigan ehtimolliklar taqsimoti

	0	1	2		k		n
	q^n			…		…	p^n

ga aytiladi, bunda .
7-misol. Ekilgan har bir chigitning unib chiqish ehtimolligi 0,8 ga teng bo’lsa, ekilgan 3 ta chigitdan unib chiqqan chigitlar sonining taqsimot qonuni tuzilsin.
Yechilishi. р=0,8, q=1-р=0,2 ekilgan uchta chigitdan unib chiqqanlari soni tasodifiy miqdorlar bo’lib, u 0, 1, 2, 3 qiymatlardan birini qabul qilish ehtimolligi Bernulli formulasi yordamida topiladi:




Demak, ekilgan 3 ta chigitdan unib chiqadiganlari soni X tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni

Х=	0	1	2	3
	0,08	0,096	0,384	0,512

bo’lib, ehtimolliklar yig’indisi 0,08+0,096+0,384+0,512=1.

Aytaylik, X tasodifiy miqdor 0,1,2,3,… qiymatlarni ushbu

ehtimolliklar bilan qabul qilsin. Bu holda taqsimot jadvali

Х=	0	1	2	3	…
					…

ko’rinishga ega bo’lib u Puasson taqsimoti deb ataladi. Bu yerda

8-misol. Lampochka zavodida 10000 ta lampochka ishlab chiqarilgan. Har qaysi lampochkaning yaroqsiz bo’lish ehtimolligi p=0,0001 ga teng. Bu lampochkalar ichidan tavakkaliga 4 ta lampochka olingan. Yaroqsiz lampochkalar sonining taqsimot qonunini yozing.
Yechilishi. Lampochkalar soni katta va yaroqsiz bo’lish ehtimolligi kichik bo’lganligi uchun Puasson formulasidan foydalanish qulay. n=10 000, p=0,0001, bo’lganligi uchun Puasson formulasiga asosan:
.
Demak, qaralayotgan X tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagicha bo’ladi:

Х=	0	1	2	3	4

Bu yerda chunki Puasson formulasi taqribiy formula.


5.4. Diskret tasodifiy miqdorlar ustida amallar
1.Tasodifiy miqdorning funksiyasi. Х taqsimot qonuni ma‘lum bo’lgan tasodifiy miqdor bo’lsin.

Х=	х1	х2	…	хn	...
	р1	р2	…	рn	...

y=f(x) funksiya esa bu miqdorning barcha mumkin, bo’lgan qiymatlari yotadigan sohada aniqlangan monoton bo’lsin. U holda Y=f(X) diskret tasodifiy miqdor bo’lib uning taqsimot qonuni

Y=f(X)=	f( х1)	f( х2)	…	f( хn)	...	(5.2)
	р1	р2	…	рn	...

bo’ladi.
9-misol. Agar X tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni

Х=	-1	0	1	3	5
	0,1	0,2	0,3	0,15	0,25

bo’lsa, Y=4X tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini yozing.

Yechilishi. (5.2) ga asosan

4Х=	-4	0	4	12	20
	0,1	0,2	0,3	0,15	0,25

bo’ladi.
Agar f(x) nomonoton funksiya bo’lsa, u holda u Х ning turli qiymatlarida bir xil qiymatlar qabul qilishi ham mumkin. Bu holda oldin (80.2) ko’rinishdagi yordamchi jadval tuzib olinadi, keyin esa Y tasodifiy miqdorning bir xil qiymatlari ustunlari birlashtiriladi, bunda mos ehtimolliklar qo’shiladi.
10-misol. Agar Х tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni

Х=	-3	-2	1	3
	0,2	0,1	0,4	0,3

bo’lsa, Y=X² tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini yozing.
Yechilishi. Y=X² uchun yordamchi jadval bunday bo’ladi.

Y=	9	4	1	9	. Demak,		1	4	9
	0,2	0,1	0,4	0,3			0,4	0,1	0,5

2. Ikki tasodifiy miqdorning yig’indisi va ko’paytmasi

Х=	х1	х2	...	xn	Y=	y1	y2	...	ym
	р1	р2	...	pn		q1	q2	...	qm

tasodifiy miqdorlar berilgan bo’lsin.
4-ta‘rif. X va Y tasodifiy miqdorlarning yig’indisi deb, z_ij=x_i+y_j ko’rinishdagi qiymatlarni p_ij=P(X=х_i,Y=y_j) ehtimollik bilan qabul qiladigan z tasodifiy miqdorga aytiladi. Bunda p_ij=P(X=x_i, Y=y_j ) ifoda X miqdor x_i qiymatni Y miqdor esa y_j qiymatni qabul qilish ehtimolligini yoki boshqacha aytganda, Х=х_i va Y=y_j hodisalarning birgalikda ro’y berish ehtimolligini ifodalaydi.
Shunday qilib, barcha mumkin bo’lgan qiymatlari turlicha bo’lganda Z=X+Y tasodifiy miqdor

Z=X+Y=	х1+y1	х1+y2	x2+y1	х1+y3	x2+y2	(5.3)
	p11	p12	p 21	p 13	p 22

ko’rinishdagi taqsimotga ega bo’ladi.
Аgar bir xil qiymatli yig’indilar bor bo’lsa, u holda oldin (5.3) ko’rinishdagi yordamchi jadval tuzilib bir xil qiymatli ustunlar mos ehtimolliklarni qo’shish bilan birlashtiriladi.
Tasodifiy miqdorlarning ko’paytmasi ham qo’shishga o’xshash aniqlanadi, biroq bunda (5.3) jadvalning yuqori satrida yig’indilar o’rnida mos ko’paytmalar turadi.
5-ta‘rif. Agar Х va Y tasodifiy miqdorlar uchun istalgan Х=х_i va Y=y_i hodisalar jufti bog’liqmas bo’lsa, u holda X va Y bog’liqmas tasodifiy miqdorlar deb ataladi.
Agar diskret tasodifiy miqdorlar bog’liqmas bo’lsa, u holda ehtimolliklarni ko’paytirish teoremasiga asosan p_ij= bo’ladi, bu yerda p_i=P(X=x_i), q_j=P(Y=y_j).
11-misol. Х va Y bog’liqmas tasodifiy miqdorlar

X=	-1	1		Y=	1	2	3
	0,4	0,6			0,5	0,3	0,2

taqsimot qonunlariga ega bo’lganda tasodifiy miqdorlarning taqsimot qonunlari tuzilsin.
Yechilishi.

U=	-1+1	-1+2	-1+3	1+1	1+2	1+3

Bundagi bir xil qiymatli yig’indilar turgan 3- va 4-ustunlarni birlashtirib va bunda mos ehtimolliklarni qo’shib, ushbu taqsimot qonunini hosil qilamiz.

	0	1	2	3	4
	0,20	0,12	0,38	0,18	0,12

Tekshirish: 0,20+0,12+0,38+0,18+0,12=1.

V=

yoki

	-3	-2	-1	1	2	3
	0,08	0,12	0,20	0,30	0,18	0,12