5- ma’ruza. Kompleks o’zgaruvchili funksiya. Soha va Jordan chizig’i tushunchalari (2 soat) Dars rejasi

5.3-Ta’rif. Agar haqiqiy parametrning ixtiyoriy ikki turli qiymatlariga (chiziqning boshlang’ich va oxirgi nuqtalariga mos keladigan qiymatlardan tashqari) , chiziqning turli nuqtalari mos kelsa, u holda bu chiziq Jordan chizig’i deyiladi.

Shunday qilib, uzluksiz karrali (tugun) nuqtalarga ega bo’lmagan chiziq Jordan chizig’i deyiladi. Agar deb olsak, u holda deb olish lozim bo’lib, yuqoridagi chiziqni bitta tenglama orqali analitik shaklda ifodalash mumkin bo’ladi.

Agar o’zgaruvchi boshlang’ich qiymatdan o’sib borib oxirgi qiymatgacha uzluksiz o’zgarsa, u holda nuqtalar yuqoridagi chiziqni boshlang’ich nuqtasidan ozirgi nuqtasiga aniq bir yo’nalishda o’tadi. Bu yo’nalish chiziqning musbat yo’nalishi deyiladi.

Boshlang’ich nuqtasi o’zining oxirgi nuqtasi bilan ustma – ust tushgan Jordan chizig’iga yopiq Jordan chizig’i deyiladi.

5.1-Teorema (Jordan). Har bir yopiq Jordan chizig’i kengaytirligan kompleks tekislikni ikki qismga ajratadi:

1. 
   Cheksiz uzoqlashgan nuqtani saqlamagan va ga nisbatan barcha ichki nuqtalar to’plami;
   
2. 
   Cheksiz uzoqlashgan nuqtani saqlovchi va ga nisbatan barcha tashqi nuqtalar to’plami.
   

Bu qismlarning har biri sohadan iborat bo’lib, yopiq chiziq ularning chegarasini tashkil qiladi.

Nuqtalari chiziqning ichki nuqtalaridan iborat soha quyidagi ajoyib xossaga ega: shu sohaga qarashli har bir yopiq Jordan chizig’i o’zining ichkarisi bilan unga qarashli bo’ladi. Umuman, bunday xossaga ega bo’lgan har qanday soha bir bog’lamli soha deyiladi. Agar soha bunday xossaga ega bo’lmasa , u holda unga ko’p boglamli soha deyiladi. Kengaytirilgan kompleks tekislikda yotuvchi sohalar uchun bu ta’rifni quyidagicha kengaytirish mumkin: agar sohaga qarashli har qanday yopiq Jordan chizig’i olinganda ham uning yo ichkarisi yoki tashqarisi shu sohaga tegishli bo’lsa, u holda bu soha bir bog’lamli soha deyiladi. 5.1-chizmadagi va sohalar bir bog’lamlidir.

5.1-chizma 5.2-chizma

5.2-chizmadagi soha bir bog’lamlili emas. Endi faraz qilamizki, bizga ta yopiq Jordan chiziqlari erilgan bo’lib, barcha chiziqlar bir-birining tashqarisida joylashib, ularning barchasi ning ichkarisida joylashsin.(5.3- chizmaga qarang). Agar deb bir vaqtda ga ichki va larga nisbatan tashqi barcha nuqtalar to’plamini belgilasak, u holda chegarasi chiziqlarning yig’indisidan (birlashmasidan) tashkil topgan soha bo’ladi. Agar bu yerda n=0 bo’lsa, u holda bir bog’lamli soha bo’ladi. Agar bo’lsa, u holda da yotuvchi shunaqa yopiq Jordan chizig’i topiladiki, uning ichkarisi ga to’la qarashli emas, ya’ni bu soha bir bog’lamli soha bo’la olmaydi. Bu sohani biz bog’lamli soha deb ataymiz (5.3-chizmaga qarang).



5.3-Chizma