2-teorema. va funksiyalar chegaralangan yopiq bir bog‘lamli D sohada uzluksiz va uzluksiz hususiy hosilalarga ega bo‘lsin. U holda D sohada to‘la joylashgan bo‘lakli silliq yopiq C kontur bo‘yicha olingan integral
(2)
bo‘lishi uchun D sohaning barcha nuqtalarida
(3)
tenglikning o‘rinli bo‘lishligi zarur va yetarli.
Isbot. Yetarli shart. Aytaylik, D sohaning barcha nuqtalarida (3) shart bajarilsin. D sohada joylashgan bo‘lakli silliq yopiq C kontur olaylik. D sohaning C kontur bilan chegaralangan qismini orqali belgilaylik. sohada Grin formulasini qo‘llasak, ushbu tenglik hosil bo‘ladi:
. (3) tenglikka binoan .
Demak, .
Zaruriy shart. Faraz qilaylik (2) o‘rinli, (3) tenglikni o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. Teoremani teskari faraz qilish yo‘li bilan isbotlaymiz. Faraz qilaylik biror nuqtada (3) tenglik o‘rinli bo‘lmasin, ya’ni , demak, bu nuqtada .
Aniqlik uchun deb olaylik.
Shartga ko‘ra funksiya D sohada uzluksiz, xususan nuqtada uzluksiz. Shuning uchun nuqtaning biror w atrofi topilib, shu atrofning barcha nuqtalarida tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bu atrofdan biror bo‘lakli silliq C kontur olib, u bilan chegaralangan sohani G orqali belgilasak, u holda Grin formulasini qo‘llab, quyidagiga ega bo‘lamiz:
(4).
O‘ng tomondagi ikki karrali integralga o‘rta qiymat haqidagi teoremani qo‘llasak, biror topilib, tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bunda sohaning yuzi. sohaning barcha nuqtalarida funksiyaning qiymatlari musbat bo‘lgani uchun bo‘lib, ekanligi kelib chiqadi. (4) ga asosan tanlangan G kontur uchun tengsizlik hosil bo‘ladi.
Bu teorema shartiga qarama-qarshi, ya’ni farazimiz noto‘g‘ri.
1- va 2-teoremalardan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija. Bir bog‘lamli chegaralangan yopiq D sohada uzluksiz bo‘lgan va funksiyalar berillib, ular uzluksiz hususiy hosilalarga ega bo‘lsin. U holda egri chiziqli integral D sohada integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasligi uchun, D sohaning barcha nuqtalarida tenglikning bajarilishi zarur va yetarlidir.
8-§. To‘la differensiallik sharti
(1)
egri chiziqli integral ostidagi
(2)
ifoda ko‘rinishi jixatidan qandaydir ikki argumentli funksiyaning to‘la differensialini eslatadi: . Shuning uchun to‘la differensiali (2) dan iborat bo‘lgan funksiya mavjudmi degan savol tug‘iladi: .
Bu savolga quyidagi teorema javob beradi:
Teorema. Chegaralangan yopiq bir bog‘lamli D sohada funksiyalar uzluksiz va ular D sohada uzluksiz hususiy hosilalarga ega bo‘lsin. U holda ifoda D sohada qandaydir funksiyaning to‘la differensiali bo‘lishi uchun D sohada
(3)
tenglikning o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriy shart. Shunday funksiya mavjud bo‘lib, D sohaning barcha nuqtalarida
(4)
tenglik o‘rinli bo‘lsin, bu holda (3) tenglik o‘rinli ekanlagini ko‘rsatamiz.
(4) tenglikda tenglik kelib chiqadi. P ni y bo‘yicha, Q ni x bo‘yicha differensiallab, quyidagilarni hosil qilamiz:
. (5)
Teorema shartiga ko‘ra hususiy hosilalar D sohada uzluksiz, shuning uchun va aralash hususiy hosilalar ham uzluksiz bo‘lib, o‘rinli bo‘ladi. Bundan tenglik kelib chiqadi.
Yetarli shart. Aytaylik D sohada tenglik o‘rinli bo‘lsin, u holda D sohada aniqlangan funksiya topilib uning to‘la differensiali dan iborat bo‘lishini ko‘rsatamiz. (3) tenglik o‘rinli bo‘lganda (1) egri chiziqli integral D sohada integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmaydi. D sohadan nuqta olib uni o‘zgarmas, nuqta olib uni o‘zgaruvchi deb qaraylik. U holda (1) egri chiziqli integral x va y o‘zgaruvchilarning qandaydir ikki argumentli funksiyasi bo‘ladi. Bu funksiyani quyidagicha belgilaylik: .
funksiyaning D sohadagi to‘la differensiali (2) ga tengligini ko‘rsatamiz. D sohaning biror tayin nuqtasi bo‘lsin. ni o‘zgarmas qoldirib, ga shunday beramizki, natijada bo‘lsin (19-rasm).
19-rasm
Bu funksiyaning x bo‘yicha hususiy orttirmasi quyidagicha bo‘ladi:
. (6)
Egri chiziqli integral qiymati integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmaganligi uchun integralni AB chiziq va BC to‘g‘ri chiziqdan iborat bo‘lgan AC chiziq bo‘yicha integrallaymiz. Bundan
.
BC kesmada y o‘zgarmas bo‘lgani uchun bo‘lib, tenglik hosil bo‘ladi. BC chiziq tenglamasi bo‘lgani uchun egri chiziqli integralni aniq integralga keltiramiz:
Bu aniq integralga o‘rta qiymat haqidagi teoremani qo‘llab ushbu tenglikni hosil qilamiz: . Ikkala tomoni ga bo‘lsak:
funksiya D sohada uzluksiz bo‘lgani uchun tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Bularga asosan quyidagi tenglik kelib chiqadi:
(7)
Xuddi shu kabi
(8)
tenglikni keltirib chiqarish mumkin.
(7) va (8) tengliklardan tenglikni keltirib chiqaramiz.
Eslatma. To‘la differensiali ifodaga teng bo‘lgan funksiya bu ifodaning boshlang‘ich funksiyasi deyiladi.
funksiya ifodaning boshlang‘ich funksiyalaridan bittasi bo‘lib, barcha boshlang‘ich funksiyalari (C-ixtiyoriy o‘zgarmas) ko‘rinishda bo‘ladi.
Yuqoridagi teoremadan ushbu natija kelib chiqadi.
Natija. Agar va funksiyalar o‘zlarining hususiy hosilalari bilan chegaralangan yopiq bir bog‘lamli D sohada uzluksiz bo‘lsa, u holda egri chiziqli integral D sohada integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasligi uchun ifoda shu sohada qandaydir funksiyaning to‘la differansiali bo‘lishi zarur va yetarli.
Do'stlaringiz bilan baham: |