42-ma‘ruza. Mavzu: Aniq integral yordamida yuzni hisoblash

8-misol. ρ=a(1+cosθ) kardioida bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblang (159-chizma).

159-chizma.

Yechish. Figura qutb o’qiga nisbatan simmetrik. Shuning uchun figuraning qutb o’qi ρ dan yuqorida joylashgan qismining yuzini topsak izlanayotgan yuzning yarmi topiladi. θ o’zgaruvchi 0 dan π gacha o’zgarganda ixtiyoriy М(ρ; θ) nuqta kardioidaning ρ o’qdan yuqorida joylashgan qismini chizadi. (42.6) formulaga binoan quyidagiga ega bo’lamiz:

Bundan

ga ega bo’lamiz.

9-misol. ρ=a cos3θ egri chiziq bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblang (160-chizma).

160-chizma.

Yechish. θ o’zgaruvchi 0, qiymatlarni qabul qilganda ρ o’zining eng katta a qiymatiga erishadi. θ o’zgaruvchi qiymatlarni qabul qilganda egri chiziq qutbdan o’tadi (ρ=0).

160-chizmadagi shrixlangan yuz uch yaproqli gul bilan chegaralangan yuzning oltidan bir qismini tashkil etadi. Shuning uchun (42.6)ga binoan quyidagiga ega bo’lamiz.

Bundan

ga ega bo’lamiz.

10-misol. ρ=asin2θ egri chiziq bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblang (161-chizma).

161-chizma.

Yechish. θ o’zgaruvchi va qiymatlarni qabul qilganda ρ o’zining eng katta а qiymatiga erishadi. θ o’zgaruvchi 0, , π, qiymatlarni qabul qilganda (ρ=0) egri chiziq qutbdan o’tadi.

161-chizmadagi shtrixlangan yuz to’rt yaproqli gul bilan chegaralangan yuzning sakkizdan bir qismini tashkil etadi. Shuning uchun (42.6) formulaga binoan quyidagiga ega bo’lamiz:

Bundan