42-ma‘ruza. Mavzu: Aniq integral yordamida yuzni hisoblash

6-misol. Dekart yaprog’i sirtmogining yuzini hisoblang (156-chizma)

156-chizma.

Yechish.

Koordinatalar boshida egri chiziq o’zini o’zi kesadi, ya‘ni koordinatalar boshi egri chiziqning maxsus (qaytish)nuqtasidir. Egri chiziq bu nuqtadan t=0 da va t=∞ bo’lganda o’tadi, ya‘ni integrallash chegaralari 0 va ∞ ga teng. Shuning uchun:

7-misol. x=acost, y=bsint elips bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblang (157-chizma).

157-chizma.

Yechish. Ellips koordinata o’qlariga nisbatan simmetrikligini hisobga olsak 157-chizmadagi shtrixlangan yuz izlanayotgan yuzning yarmini tashkil etadi. Shuning uchun uni hisoblab ikkilantirsak ellips bilan chegaralangan figuraning yuzi hosil bo’ladi. bu yerda x ning qiymati –а dan а gacha o’zgaradi. U holda t ning qiymatini x=acost dan aniqlasak u π dan 0 gacha o’zgaradi. (42.5) formulaga asosan ellips bilan chegaralangan figura yuzining yarmi uchun quyidagiga ega bo’lamiz:

Bundan ga ega bo’lamiz.

Xususiy holda а=b=R bo’lganda oxirgi tenglikdan doiraning yuzini topish formulasi Q= πR² ni hosil qilamiz.