4-tаjribа ishi. Chiziqli avtomatik boshqarish sistemalarining turg‘unligini algebrik me'zonlar bo‘yicha tadqiq etish

IIIg. ABT larni tavsifiy tenglamalari bo‘yicha turg‘unlikni tahlil qilish

Umumiy holda parametrlari to‘plangan ABT ni quyidagi ko‘rinishga ega bo‘lgan birinchi yaqinlashish tenglamasi orqali ifodalanadi:

(4.14)
(1.14) ning echimi


(4.15)

ABT ni turg‘unligini tahlil qilish uchun, o‘ng tarafi nolga teng bo‘lgan (1.14) tenglama echimidan olinuvchi, o‘tishni tashkil etuvchisini tadbiq etish lozim. Xaqiqatan ham ta’rifga ko‘ra, turg‘unlik tizimning toydiruvchi ta’siri tugaganidan so‘ng (t=0), normal-muvozanat holatga qaytishga qodirligidir, ya’ni tizimning faqat nolga teng bo‘lmagan boshlang‘ich shartlaridagi harakatidir.

Ma’lumki,
(4.16)

Tenglamaning echimini ko‘rinishga keltiramiz (S, r-doimiylar).

Bu echimni (1.16) ga qo‘yib (n marta differensiallab), umumiy ko‘paytiruvchiga qisqartirgandan so‘ng tavsifiy deb ataluvchi algebraik tenglama olamiz
(4.17)
(1.17) xar biri (1.1b) ning echimini beruvchi N ildizlarga (r₁, r₂,...,rⁿ) ega bo‘lganligi sababli va echimlar yig‘indisi ham echim ekanligini hisobga olib, quyidagini olamiz
(4.18)

Umumiy holda R₁ ning ildizlari kompleksdir. Tavsifiy tenglama xaqiqiy koeffitsientga ega bo‘lganligi sababli, ildizlar kompleks tutash bo‘ladi:

Agar (1.17) tavsifiy tenglama tartibi bo‘lsa, ildizlarni analitik yo‘l bilan topish mumkin, ammo da ildizlarni topish qiyin. Turg‘unlikni tadbiq qilishda ildizlarning o‘zini emas, balki faqat haqiqiy qismlarining ishorasini va hatto, barcha ildizlarning mavhum o‘qdan chapda yoki, bittasi bo‘lsa ham o‘ngda yotishini bilish kifoya.


IV. Rauss barqarorlik mezoni

1877 yili E.Rauss, tizimlarning barqarorligini tavsifiy tenglamalar yordamida aniqlash maqsadida, bir qoidani taklif etdi. Taklif asosida jadval yotgan bo‘lib, unda tavsifiy tenglamaning juft indekslari birinchi qatorga, toq indekslari esa ikkinchi qatorga yoziladi. Bu mezon algebraik mezon bo‘lib, unda aynan Rauss jadvalidan foydalaniladi. Jadval tavsifiy tenglama koeffitsientlaridan foydalanilgan holda to‘ldirilib, birinchi ustun ildizlarining ishorasi xulosa qilish imkoniyatini bildiradi. SHartga ko‘ra, birinchi ustun ildizlari barchasi musbat ishorali bo‘lsa, bu tizimning barqarorligini bildiradi:

Qator nomeri