4-tаjribа ishi. Chiziqli avtomatik boshqarish sistemalarining turg‘unligini algebrik me'zonlar bo‘yicha tadqiq etish

4.3.a. Turg‘unlikni aniqlash usullari

CHiziqli tizimlarning turg‘unligi tashqi ta’sir kattaligiga bog‘liq bo‘lmaydi; agar tizim kichik tashqi ta’sirlarda (yoki bundan keyin «kichiklarda» deb ataymiz) turg‘un bo‘lsa, katta tashqi ta’sirlarda ham turg‘un bo‘ladi. SHuning uchun chiziqli tizimlarning turg‘unligini aniqlashda, "kichiklarda" turg‘unliklarini aniqlash, ya’ni orttirma shaklidagi tenglamalar bo‘yicha turg‘unlikni topish etarlidir. Bunda turg‘unlikni yopiq tizimlarining tavsifiy tenglamalarining ildizlari ko‘rinishida aniqlash mumkin.

Agarda tizimlarni dinamikasi, aniq doimiy koeffitsientlar bilan chiziqli differensial tenglamalar ko‘rinishida berilsa, u holda "kichik" larda turg‘un bo‘lgan tizimlar, umuman tizimlarni cheksiz turg‘unligini ta’minlaydi.
Egri chiziqli differensial tenglama ko‘rinishida berilgan, egri chiziqli tizimlar kichik tashki ta’sirlarda turg‘un, lekin katta tashqi ta’sirlarda esa noturg‘un bo‘ladi. Real tizimlarning katta qismlari sodir bo‘luvchi jarayonlarni ifodalovchi egri chiziqli differensial tenglamalar, tekshirishni soddalashtirish uchun, linerizatsiyalangan bo‘lishi mumkin. U holda real (haqiqiy) tizimlarni tekshirish, linerizatsiyalangan tizimlarni tekshirishga almashtiriladi.
Ba’zi umumiy shartlarda quyidagilar to‘g‘ridir (Lyapunov A.M. ning birinchi teoremasi):
1. Agar chiziqlantirilgan tizimlarni tavsifiy tenglamalari ildizlari manfiy butun bo‘lmagan qismlarga ega bo‘lsa, u holda haqiqiy tizim turg‘undir.
2. Agar chiziqlantirilgan tizimlarning tavsifiy tenglamalari ildizlari, bittagina bo‘lsa ham, musbat butun bo‘lmagan qismlarga ega bo‘lsa, u holda haqiqiy tizim noturg‘undir.
3. Agarda chiziqlantirilgan tizimlarning tavsifiy tenglamalari ildizlaridan birortasi nolga teng bo‘lsa, u holda haqiqiy sistemaning xususiyatini, uning chiziqlantirilgan tenglamasi orqali aniqlash mum­kin emas.
Turg‘unlik shartlarini analitik sharti shuni ko‘rsatadiki, muvozanatni buzilishi oqibatida hosil bo‘lgan og‘ishning absolyut qiymati, qandaydir oldindan berilgan qiymat dan kichik bo‘lishi kerak:

Astatik tizimlar uchun sozlash xatoligi nolga teng, shuning uchun . Avtomatik tizimlarini dinamik xususiyatlarini analitik tekshirish uchun, unga differensial tenglama tuzish va integrallash kerak. Bu shuni ko‘rsatadiki, bizni qiziqtiruvchi vaqt bo‘yicha o‘zgaruvchi o‘zgarish qonuni topiladi, qaysiki bu Bilan, o‘tish jarayoni xarakteri haqida xulosa qilish mumkin. Tizim turg‘un bo‘lishi uchun, tavsifiy tenglamalarni koeffitsientlari yoki shu koeffitsientlarni qanoatlantiradigan shartlarni matematik sharhi - turg‘unlik mezoni (mezon) deb ataladi.