4-mavzu. Matritsalar haqida tushuncha. Matritsalaming ustida amallar. Teskari matritsa. Determinantlar va ularning xossalari. Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari. Kramer formulalari

элементар алмаштиришлар 
деб 
аталади: 
а) фақат ноллардан иборат сатрни (устунни) ўчириш; 
б) иккита сатрнинг (устуннинг) ўринларини алмаштириш; 
в) бир сатр (устун)нинг барча элементларини бирор кўпайтувчига 
кўпайтириб, бошқа сатр (устун)нинг мос элементларига қўшиш; 
г) сатр ( устун ) нинг барча элементларини нолдан фарқли бир хил сонга 
кўпайтириш. 
Элементар алмаштиришлар матрица рангини ўзгартирмайди. Шу 
сабабли, элементар алмаштиришлардан фойдаланиб, матрицани диоганал 
элементларидан ташқари барча элементлари нолга тенг бўладиган кўринишга 
келтириш мумкин. Бу холда матрица ранги диоганалдаги нолга тенг 
бўлмаган элементлари сонига тенг бўлади. 
3 – м и с о л. Матрица рангини топинг: 
А
(
)
Е ч и ш. Матрица устида элементар алмаштиришларни бажарамиз: 
А
(
)
(
)
(
)

---

(
)
(
)
(
)
Хосил қилинган матрицанинг ранги 2 га тенг, демак, берилган А 
матрицанинг ранги ҳам 2 га тенг бўлади; 
1.3.6. 
К р о н е к е р - К а п е л л и т е о р е м а с и. n та ноъмалумли m 
та чизиқли тенгламалар системаси 
{
биргаликда бўлиши учун 
rangA=rangB 
бўлиши зарур ва етарлидир. Бу ерда 
(
)
. 
cистеманинг асосий матрицаси, 
(
)
. 
cистеманинг кенгайтирилган матрицаси. Агар rangA=n бўлса, у холда 
системанинг детерминанти нолдан фарқли бўлиб, у 
ягона ечимга 
эга бўлади; 
агар rangAбўлган 
чексиз кўп 
ечимга эга бўлади. 

---

Агар барча 
озод хадлар нолга тенг бўлса, у ҳолда тенгламалар 
системасини бир жинсли дейилади. Бундай тенгламалар системасида ҳар 
доим rangA=rangB, шу сабабли бир жинсли система биргаликда бўлади. Бир 
жинсли 
тенгламалар 
системасини 
қийматлар қаноатлантиради, лекин А матрицанинг ранги номалум сони 
дан 
кичик бўлганда унинг детерминанти нолга тенг бўлиб, система нолмас 
ечимга эга бўлади. 
4 – м и с о л. Ушбу
чизиқли тенгламалар системаси биргаликдалигини аниқланг. 
Е ч и ш. Берилган системанинг А асосий ва В кенгайтирилган 
матрицаларини тузамиз: 
А
(
) (
) 
Сатрлар устида тегишли элементар алмаштиришларни бажариб, бу 
матрицаларнинг рангини топамиз: 
B
(
) (
)
(
) (
)

---

(
) (
)
(
) (
)
(
) 
Шундай қилиб, rangB=4, rangA=3, яъни rangВ
rangА. Демак, система 
биргаликда эмас. 
5 – м и с о л. Ушбу
{
бир жинсли системани ечинг. 
Е ч и ш. А матрицанинг рангини хисоблаймиз: 
А
(
) (
) (
)
(
) (
) (
) 
rangA=2<3 ( 3 – ноъмалумлар сони), чунки 
|
|
Демак, система нолмас ечимларга эга ва системанинг детерминанти 
|
|
бўлгани сабабли улар чексиз кўпдир. Системанинг дастлабки икки 
тенгламасини ечамиз: 

---

{
Бу системада 
ли ҳадларини ўнг томонга ўтказамиз: 
{
Бу системани Крамер қоидасидан фойдаланиб ечамиз: 
|
|
|
|
|
|
Шундай қилиб, 
бўлсин (
- ихтиёрий 
мутоносиблик коеффициенти). У холда 
. 
га ихтиёрий қийматларни бериб, чексиз кўп ечимларни хосил қиламиз. 
 
3 – дарсхона топшириғи 
1.
Агар
(
) (
)
бўлса, 3А+2В ни хисобланг. 
Ж: 3А+2В
(
) 
2.
Ушбу 
(
)
ва
(
)
матрицалар берилган. АВ ва ВА ларни топинг. 
Ж: АВ
(
)
ВА
(
)
3.
Ушбу
(
)

---

матрицага тескари А
-1
матрицани топинг. 
Ж: А
-1 
(
) 
4.
Агар
(
)
бўлса, А нинг рангини элементар алмаштиришлар ёрдамида топинг. 
Ж: rangA=3. 
5.
Тенгламалар системасининг биргаликда бўлиш-бўлинмаслигини 
текширинг. Агар система биргаликда бўлса, уни матрица усули билан 
ечинг: 
а) 
{
б) 
{
Ж: а) х
-1,
б) система биргаликда эмас. 
y= -1, 
z=3; 
6.
Бир жинсли системани ечинг: 
{
Ж: х
1
=17t; x
2
=2t; x
3
=-7t ( - ∞ < t < + ∞ ).