4-mavzu. Matritsalar haqida tushuncha. Matritsalaming ustida amallar. Teskari matritsa. Determinantlar va ularning xossalari. Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari. Kramer formulalari

 Матрицалар. Матрицалар устида амаллар.
Матрицаларнинг ранги.
Чизиқли тенгламалар системасини текшириш 
1.3.1.
Сонларнинг 
m
та сатр ва
n
та қатордан иборат тўғри тўртбурчакли 
жадвали
m 
n ўлчамли матрица 
дейилади. Бу матрица 
А 
(
)

---

кўринишда ёзилади. 
Агар 
бўлса, 
сатр матрица, 
n
бўлса, 
устун матрица 
 
бўлса 
квадрат матрица 
хосил бўлади. Квадрат А матрица учун шу 
матрицанинг элементларидан тузилган 
– тартибли детерминантни 
хисоблаш мумкин. Бу детерминант detA ёки 
| |
орқали белгиланади: 
detA
| | (
)
Агар detA
бўлса, у холда А матрица 
махсус, 
detA
бўлса, 
махсусмас 
дейилади. 
Бош диагоналида турган элементлари бирга, қолган элементлари нолга 
тенг бўлган квадрат матрица 
 бирлик матрица 
деб аталади ва 
Е
билан 
белгиланади: 
(
)
Равшанки, detЕ
. 
Агар ўлчамлари бир хил 
m
n
бўлган икки матрицанинг барча мос 
элементлари ўзаро тенг бўлса, бу матрицалар 
тенг 
дейилади. 
1.3.2. 
Бир хил 
m 
 n ўлчамли А ва В 
матрицанинг 
йиғиндиси 
деб ўша 
ўлчамли шундай 
матрицага айтиладики, унинг хар бир элементи А 
ва В матрицаларнинг мос элементлари йиғиндисидан иборат бўлади. 
m х n ўлчамли А 
матрицанинг λ 
 сонга кўпайтмаси 
деб, ўша ўлчамдаги 
матрицага айтиладики, бу матрица элементлари А матрица 
элементлари А матрица элементларини λ га кўпайтиришдан ҳосил бўлади. 
m 
 к 
ўлчамли
 А 
матрицанинг 
k 
 n 
ўлчамли
 В матрицага 
кўпайтмаси 
деб, 
m 
 n ўлчамли 
 
матрицага айтиладики, унинг 
элементи А 
матрицанинг 
i 
–сатри элементларини В матрицанинг 
j-
устундаги мос 
элементларига кўпайтмалари йиғиндисига тенг, яъни 
Агар АВ
ВА бўлса, у холда А ва В матрицалар 
ўрни алмашинадиган 
ёки 
комутатив матрицалар 
дейилади. 
1 – м и с о л. Ушбу
(
) 

(
)
 

---

матрицаларнинг АВ ва ВА кўпайтмаларини топинг. 
Е ч и ш. АВ матрица 2 
2 ўлчамга эга бўлади: 
АВ
(
) (
)
(
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
)
(
) 
ВА матрица 3
3 улчамга эга бўлади: 
ВА 
(
) (
)
(
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )
)
(
) 
АВ
ВА бўлганлиги сабабли А ва В матрицалар комутатив эмас. 
1.3.3. 
Агар квадрат матрица махсусмас бўлса, у холда 
тенгликни қаноатлантирувчи ягона 
матрица мавжуд бўлади ва у А 
матрица 
тескари матрица 
дейилади. А матрицанинг 
тескари матрицаси 
қуйидагича аниқланади: 
(
) 
 
Бу ерда 
А матрица детерминанти 
элементининг алгебраик 
тўлдирувчиси. 
2.
 
М и с о л. Берилган
 
(
)
 
матрицага тескари матрицани топинг. 
Е ч и ш. Матрицанинг детерминантини хисоблаймиз: 
|
| ( )
 

---

Демак, А матрица махсусмас матрица экан. Энди 
алгебраик 
тўлдирувчиларни хисоблаймиз: 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тескари матрицани тузамиз: 
(
) (
) 
эканини текшириш мумкин. 
1.3.4. 
n та номаълумли n та чизиқли тенгламалар системаси
{
ни матрица кўринишида
АХ=В 
каби ёзиш мумкин, бунда 
(
)
. 
Х
(
)
, В
(
) 
Агар А махсусмас матрица, яъни detA
бўлса, у холда бу системанинг 
матрица шаклидаги ечими ушбу кўринишга эга бўлади: 
Х=
В. 

---

1.3.5.
А матрицанинг 
ранги 
деб унинг нолдан фарқли минорларининг 
энг катта тартибига айтилади ва у rang(A) каби белгиланади. 
Матрицани қуйидаги алмаштиришлар