4-mavzu. Algebraik to’ldiruvchi va minorlar. Laplas teoremasi

4-mavzu. Algebraik to’ldiruvchi va minorlar. Laplas teoremasi

Endi biz determinantlarni hisoblashda muhim vositachi vazifasini bajaruvchi minor va algebraik to’ldiruvchi tushunchalari kiritamiz. Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar determinantlarning tartibini pasaytirib hisoblashda asosiy rol o’ynaydi.

Bizga quyidagicha n-tartibli kvadrat matrisa berilgan bo’lsin

.

Bu matritsaning ixtiyoriy ta satr va ta ustunining kesishgan joylaridan -tartibli determinant tuzib olamiz. Hosil bo’lgan determinantga determinantning - tartibli minori deyiladi.

Xususan, determinantda bitta satr va bitta ustuni kesishgan joyida bitta element bo’ladi, ya’ni determinantning elementlari ham minorlar bo’lishi mumkin. O’chirilmay qolgan elementlaridan tuzilgan determinant tartibli determinant bo’lib, unga minorning to’ldiruvchi minori deyiladi. Minor va to’ldiruvchi minorlarni qulaylik uchun va lar bilan belgilab olamiz. va determinantlar bir-birini o’zaro to’ldiruvchi minorlar juftligi deb ham ataladi. Xususan, determinantning i-satr va j-ustunini kesishmasida turgan element birinchi tartibli va uning o’chirilmay qolgan elementlaridan tuzilgan to’ldiruvchi minor tartibli minor bo’lib, ular birgalikda o’zaro to’ldiruvchi minorlar juftini tashkil qiladi.

Agar k-tartibli minor satr va ustunlarining kesishmasidan tuzilgan bo’lsa, u holda

, (4.1)

ifoda M minorning algebraik to’ldiruvchi deyiladi, bu yerda

Matritsaning bosh diagonalida joylashgan

minorlar matrisaning bosh minorlari deb ataladi.

Endi k-tartibli bosh minorni o’z algebraik to’ldiruvchisiga ko’paytmasini qaraymiz:

.

U holda

juft son bo’ladi va demak

bo’ladi.

minorning hadlari ko’rinishida, minorning hadlari esa ko’rinishida bo’ladi. Bu yerda

va , .

Ushbu hadlarning ko’paytmasi

bo’lib, bu ko’paytma determinantning turli satr va ustunlaridan bittadan olingan n ta elementlarning ko’paytmasidan iborat va n-tartibli determinantning hadi bo’ladi. Endi n-tartibli determinantning ushbu hadi ishorasi ga teng ekanligini ko’rsatamiz.

Haqiqatan ham, bu hadning indekslaridan tuzilgan

o’rniga qo’yishning faqat ta inversiyasi bor, chunki hech qaysi hech bir bilan inversiya tuza olmaydi, ya’ni barcha lar dan katta emas, barcha lar dan kichik emas.

Shunday qilib, biz quyidagi lemmaga ega bo’amiz.