4-маъруза тизим бўҒинларининг тенгламалари ва уларни чизиқлаштириш

3. Бўғиннинг ночизиқли тенгламасини
чизиқлаштириш
Ночизиқли тенгламаларни ечиш етарли даражада мураккаб, шунинг учун тадқиқотларни соддалаштириш мақсадида ночизиқли дифференциал тенгламаларни тахминан чизиқлига алмаштириш мақсадга мувофиқ бўлади. Бундай тенламаларни етарли даражада аниқлик билан ечилганда ночизиқ тизимни дастлабки хусусиятларини таърифлайди. Ночизиқли дифференциал тенгламаларни чизиқли билан алмаштириш чизиқлаш-тириш деб номланади.
Бўғимларнинг ночизиқли тенгламаларини чизиқлаштириш Тейлор қаторини ажратиш ёрдамида амалга оширилади. муомаласи тенглама билан таърифланадиган бўғинни кўриб чиқамиз
φ (Y’,Y, X) = 0, (4.2)
агар, X₀, У₀ – бир қанча ўрнатилган холат бўлса,
унда φ (0,Y₀,Х₀) = 0 (4.3)
Х ва Y координатларни Х=Х₀+ΔХ, Y=Y₀+ΔY, кўринишда ёзиш мумкин, бунда, ΔХ ва ΔY – Х ва Y координатларни ўрнатилган холатдан етарли даражадаги кичик оғишлар. Бу холатда φ (Y’,Y,X) функцияни ўрнатилган режимда нуқта атрофдаги Тейлор қаторига ажратиш ва иккинчи аъзоларини ва кичик тартибадан юқорисини чиқариб ташланса, қуйидаги тахминий боғланишни олиш мумкин:
φ (Y’,Y, X) φ (0,Y₀,Х₀) + . (4.4)
«ноль» индекси хосилалар X= Х₀, Y= Y₀ нуқталарда хисобланишини англатади.
(3.2) тенгламадан (3.3) тенгламани айириб ташланса (4.4) хисобга олганда қуйидагини оламиз
(4.5)
(3.5) тенглама ўзгармас коэффициентлар билан ўзгарувчиларни ўсиши учун чизиқли дифференциал тенглама хисобланади. Умумий холат учун шу каби тенгламани (10.1) оламиз
(4.6)
Бўғинларнинг чизиқсиз тенгламаларини чизиқлаштириш муолажаларини таърифлаш, оғишларда тахминий чизиқли дифференциал тенгламаларни уларнинг эквивалентлари билан алмаштиришга олиб келади. Бундай чизиқлаштириш фақат қуйидаги шароитларни бажарганда мумкин бўлади.
Биринчидан, улар фақат кичик оғишлар учун қўлланилади, иккин-чидан, фақат узлуксиз дифференцияланувчи ночизиқликларга (функцияни Тейлор қаторига ажратиш мумкин бўлсин). Ночизиқли бўғинлар, ушбу талабларни қониқтирмайдиган, жиддий равишда ночизиқли деб номла-нади. Жиддий ночизиқли бўғинларга узуқ-узуқ характеристикали ва гистерезис сиртмоқи туридаги характеристикали бўғинлар киради.
Автоматик бошқариш назариясида бўғиннинг (тизим) умумий диф-ференциал тенгламасини (4.6) қуйидаги кўринишда ёзиш қабул қилинган:

a₀ y ⁿ +a₁₀ y ^n-1 +…+a_n y= b₀ x ^m+ b₁ x ^m-1 +…+ b_m x, (4.7),

бу ерда x= Δx/x_{0 ,} y= Δy/y₀

…..