4-маъруза тизим бўҒинларининг тенгламалари ва уларни чизиқлаштириш

2. Бўғинларни математик таърифлаш

Агар, тизимни ҳаракатга йўналтирилган бўғинларга бўлинса, унда ҳар бир бўғинни математик таърифлаш бошқа тизим бўғинлари билан боғлиқлигини хисобга олмаган холда бажариш мумкин. Бунда, тизимни умумий математик таърифлаш, тизимнинг бўғинлари тенгламаларининг мажмуаси ва ўзаро мустақил тузилган бўғинлар орасидаги боғланиш тенгламалари орқали ифодаланиши мумкин.

Боғланиш тенгламалари деб, тизимнинг бўғинлари орасида таъсирларни узатиш характерини акс эттирувчи тенгламаларга айтилади.
АБТ ҳаракатга йўналтирилган бўғинларга бўлгандан ва бўғинларни математик таърифи олингандан сўнг тузилмавий схемаси тузилади. АБТ тузилмавий схемаси деб, тизим қандай бўғинлардан ташкил топган ва бу бўғинлар ўзаро қандай боғланганлигини кўрсатилганлигига айтилади. Тузилмавий схемада бўғинлар тўғри тўрт бурчак шаклида, бўғинларнинг боғланиши ва ташқи таъсирлар-стрелкалар билан белгиланади. Схеманинг ҳар бир бўғинига уни таърифловчи тенглама ёки характеристика мос келади. Тузилмавий схемани олиш математик таърифлашнинг охирги мақсади хисобланади.
Бўғинларнинг икки кўринишдаги характеристикалари ажратилади: статистик ва динамик. Бўғиннинг статистик характеристикаси кириш х ва чиқиш у катталикларни ўрнатилган режимда ўзаро боғлиқлигини ташқи таъсирнинг f(t)=f турли доимий қийматларида ифодалайди. Умумий холатда бу боғланиш ночизиқли хисобланади.
Агар, бирон холатда турган бўғинга (тизимга) ғалаёнланувчи таъсирлар бўлса, унда бўғин (тизим) бошқа холатга ўта бошлайди. Бўғинни (тизимни) бир холатдан бошқа холатга ўтиш жараёнининг характери бўғиннинг динамик (ҳарактланиш тенгламаси) характеристикаси билан аниқланади. Ҳаракатланиш тенгламаси – бу дифференциал тенглама бўлиб, ўзгарувчан вақт ичида бўғиннинг чиқиш катталигини берилган вақтда ўзгарувчи чиқиш катталигини аниқлайди. Автоматик бошқариш назариясида “тизимнинг ҳаракати” ибораси қўлланилади, чунки автоматик тизимларнинг иши механикадаги жисмлар ҳаракатидаги тенгламалар каби билан таърифланади.
Параметрлари бир нарсага қаратилган бўғинлар учун умумий дифференциал тенглама қуйидаги кўринишга эга
φ (Y ⁿ, …,Y’,Y, Y ^m ,…,X’,X) (15.1) (4.1)
бунда, т ва п – кириш катталик Х ва чиқиш катталик Y лардан мос равишда юқори даражали хосилалар. Кўп холларда т < п. п рақами дифференциал тенгламанинг тартиби деб номланади.
Агар, бўғиннинг динамикаси чизиқли дифференциал тенглама билан таърифланса, унда бўғин чизиқли деб номланади. Агар, дифференциал тенглама ночизиқли бўлса, бўғин ночизиқли деб номланади.
Чизиқли бўғиннинг чизиқли комбинациялар таъсирларига акс таъсири бўғиннинг ҳар бир алоҳида таъсирининг акс таъсирига тенг. Чизиқли бўғинларнинг бундай хусусиятлари суперпозиция (устлаш) принцип-ларини тасвирлайди.