4-laboratoriya ishi. Chiziqli avtomatik boshqarish sistemalarining turgʻunligini algebraik mezonlar bоʻyicha tadqiq etish ishdan maqsad

4-laboratoriya ishi.
CHIZIQLI AVTOMATIK BOSHQARISH SISTEMALARINING TURGʻUNLIGINI ALGEBRAIK MEZONLAR BОʻYICHA TADQIQ ETISH


Ishdan maqsad - Chiziqli avtomatik boshqarish sistemalarining turgʻunligini algebraik meʻzonlar bоʻyicha tekshirishni Matlab dasturi asosida oʻrganish va tahlil qilish.
4.1 Nazariy qism.
Sistemaning turgʻunligi xarakteristik tenglamalarning ildizlarini hisobga olmasdan turib aniqlaydigan qoidalar turgʻunlik mezonlari ekanini bildiradi.
Turgʻunlikning algebraikmezoni xarakteristik tenglamaning koeffitsiyentlari orqali sistemaning turgʻunligi haqida fikr yuritish imkonini beradi.
(4.1)
Turgʻunlikning algebraik mezonidan Raus va Gurvits mezonlari eng kоʻp qоʻllaniladi.
Xarakteristik tenglamaning hamma koeffitsiyentlarini musbat bоʻlishi sistemaning turgʻun bоʻlishi uchun zaruriy shartdir.
(4.2)
Raus va Gurvits mezonlari matematik jihatdan ekvivalentdir.


Raus turgʻunlik mezoni.
Rausning turgʻunlik mezoni 1887 yil ingliz matematigi E.Raus tomonidan taklif qilingan. Bu mezonni quyidagi jadval orqali tushuntirish mumkin.
4.1-jadval

ri koeffi-sienti	i qator	Ustun
		1	2	3	4
–	1	a0=c11	a2=c21	a4=c31	……
–	2	a1=c12	a3=c22	a5=c32	……
	3	s13=a2-r3a3	s23=a4-r3a5	s33=a6-r3a7	……
	4	s14=a3-r4a23	s24=a5-r4a33	s34=a7-r4a43	……
	5	s15=c23-r5s24	s25=c33-r5s34	s35=c43-r5s44	……
……	…	……	……	……	……
	i	s1,i=c2,i-2-ris2, i-1	s2,i=c3,i-2-ris3, i-1	s3,i=c4,i-2-ris4, i-1	……

Jadvalning birinchi qatoriga xarakteristik tenglama koeffitsiyentlari indeksi oshib borish tartibida juft indeksli a₀, a₂, a₄, a₆, … ikkinchi qatoriga esa toq indeksli a₁, a₃, a₅, a₇, … koeffitsiyentlar joylashtiriladi.

Jadvalning qolgan har bir koeffitsiyentlari quyidagicha topiladi.
, (4.3)
bu yerda ***
Gurvits turgʻunlik mezoni.
Bu mezon 1877 yilda ingliz olimi Rauss va 1893 yilda nemis matematigi Gurvits tomonidan taʻriflangan:
n-tartibli chiziqli tizimning turgʻun boʻlishi uchun berilgan tizimning xarakteristik tenglamasida koeffitsiyentlardan tashkil topgan n ta aniqlovchilar musbat boʻlishi zarur va yetarli:
(4.4)
Bunda quyidagi qoidalarga asosan koeffitsiyent a₀ > 0 boʻlishi kerak:

1. 
   bosh diagonal bоʻyicha «a₁» dan to «a_n» gacha oʻsish tartibi bilan yozib chiqiladi;
   
2. 
   bosh dioganalga nisbatan qatorlarning pastga tomon indekslari kamayuvchi, yuqoriga tomon indekslari oʻsib boruvchi koeffitsiyentlar bilan tоʻldiriladi;
   
3. 
   indekslari noldan kichik hamda «n» dan katta bоʻlgan koeffitsiyentlar оʻrniga nollar yoziladi;
   
4. 
   Gurvits aniqlovchisining yuqori tartibi xarakteristik tenglamaning darajasiga teng boʻladi;
   
5. 
   Gurvits aniqlovchisining oxirgi tartibi ga tengdir.
   

Gurvits mezonining taʻrifi:

Agarda bоʻlib, Gurvitsning hamma aniqlovchilari noldan katta bоʻlsa, u holda sistema turgʻun bоʻladi, yaʻni bоʻlganda ; ; bоʻlishi kerak. bоʻlishi Gurvits aniqlovchisining tuzilish strukturasidan kelib chiqadi. Shunga kоʻra, agar bоʻlsa, sistema turgʻunlik chegarasida bоʻladi. Bu tenglik esa ikki holda, yaʻni yoki bоʻlganda bajarilishi mumkin.

Agarda bоʻlsa, unda tekshirilayotgan sistema turgʻunlik holatining aperiodik chegarasida bоʻladi (yaʻni xarakteristik tenglamaning bitta ildizi nolga teng bоʻladi).
Agarda bоʻlsa,unda tekshirilayotgan sistema turgʻunlik holatining tebranma chegarasida bоʻladi (yaʻni xarakteristik tenglama juft mavhum ildizga ega bоʻladi).
Endi ga teng bоʻlgan tenglamalar bilan ifodalangan sistemalar uchun Gurvits mezonining shartlarini kоʻrib chiqamiz:

1. 
   
   

Bunda ; turgʻunlik sharti boʻladi. Demak, birinchi tartibli sistemalar turgʻun boʻlishi uchun xarakteristik tenglama koeffitsiyentlarining musbat boʻlishi yetarlidir.

2. 
   .
   

Bunda turgʻunlik shartlari quyidagicha boʻladi:
a₀=0; ;
Demak, ikkinchi tartibli tenglama bilan ifodalangan sistemalarning turgʻun bоʻlishi uchun xarakteristik tenglama koffitsentlarining musbat boʻlishi yetarli shart hisoblanadi.

3. 
   
   

Turgʻunlikning zaruriy shartlari:
a₀>0; ;
Shunday qilib, uchunchi tartibli tenglama bilan ifodalangan sistema turgʻun bоʻlishi uchun xarakteristik tenglama koeffitsentlarining musbat boʻlishi yetarli boʻlmay, bunda tengsizlikning bajarilishi zarur shart hisoblanadi.
g)
Turgʻunlik shartlari:
a₀>0; ; .
Toʻrtinchi tartibli tenglama bilan ifodalangan sistemalar turgʻun bоʻlishi uchun xarakteristik tenglama koeffitsentlarining musbat bоʻlishidan tashqari yana ikki shartlar bajarilishi kerak.
Xarakteristik tenglamaning darajasi «n» ortgan sari yuqoridagi kabi bajarilishi kerak bоʻlgan shartlar ham kоʻpayib boradi. Shuning uchun turgʻunlikning Gurvits mezonining n≤4 bоʻlgan sistemalar uchun qоʻllash maqsadga muvofiq bоʻladi.