4 – мавзу. ЎЙинлар назарияси

Иқтисодий масалаларни ечишда, ўйинлар назариясини қўллаш. Истеъмолчилар бозорининг мавсум бўйича ўзгариб туриши, компаниялар стратегияларини доимо, қайта ишлаб чиқишларига сабаб бўлади. Бозордаги аниқмасликлардан оптимал стратегияларни аниқлаш етарлича мураккаб бўлсада, математик усулларни қўллаб ва маълум бир йўналишларни ҳисобга олиб, максимал фойда олиш мумкин.
Аниқмаслик шароитида, бозор стратегиясини тўғри қўллаш асосида, тасодифий факторларни камайтириб, катта эҳтимоллик билан фойда олишни прогноз қилиш мумкин.
Истеъмолчилар талаби ва кўпгина товарларни сотиш ҳажми мавсумга боғлиқдир. Қайд этилганки, бир қанча товарларга талабнинг ўсиши ёзга, баъзиларида баҳор-куз даврларига, баъзиларида эса қиш мавсумига мос келади. Шундан келиб чиқиб, компаниялар, ўтиш даврлари учун оптимал стратегиялар ишлаб чиқишлари зарур.
12.Эгар нуқта деганда нимани тушунасиз?

Агар ўйин матрицасида, бажарилса эгар нуқта мавжуд эмас. Бундай ҳолда, соф стратегияларда оптимал ечим мавжуд бўлмайди. Лекин, соф стратегияларни, аралаш стратегиялар билан кенгайтирсак, аниқмас ўйин масалаларининг ҳам оптимал ечимини аниқлаш алгоритмини топиш мумкин. Бундай ҳолларда, антагонистик ўйинларнинг оптимал ечимини топиш учун, статистик (эҳтимолларга асосланган) усулларни қўллаш тавсия этилади. Бунда, ҳар бир ўйинчининг, мумкин бўлган стратегиялар тўплами билан бирга, номаълум бўлган эҳтимоллик векторлари (нисбий частоталар) орасидаги муносабат киритилади.

ўйинчининг берилган стратегияларини, танлаш эҳтимоллик векторлари (нисбий частоталар) қуйидагича белгиланади:
, где .
миқдор, стратегияни қўллаш эҳтимоли (нисбий частота) дейилади.
ўйинчининг, аралаш стратегияси деб, соф стратегияларни эҳтимоллар билан тадбиқ этишга айтилади, бунда .
ўйинчининг аралаш стратегияси ушбу матрица кўринишда ёзилади.
ёки
кўринишда ёзиш ҳам мумкин.
Шу каби, ўйинчининг, номаълум эҳтимоллик векторлари (нисбий частоталар) қуйидагича белгиланади:
, бунда .
миқдор, стратегияни қўллаш эҳтимоли (нисбий частота) дейилади
Шунга ўхшаш ўйинчи учун аралаш стратегия қуйидагича ёзилади:
, ёки ,
ва соф стратегиялар тўплами, мос равишда ва эҳтимоллик векторлари билан биргаликда, аралаш стратегиялар дейилади.
Соф стратегиялар, аралаш стратегияларнинг хусусий ҳоли бўлиб, вектор эҳтимолнинг бирга тенг бўлишидан, соф стратегиялар келиб чиқади.
Ихтиёрий матрицали ўйиннинг оптимал стратегияси ва ўйин нархини, аралаш стратегияларда топиш мумкин.
Теорема. Аралаш стратегияларда, ихтиёрий чекли матрицали ўйин эгар нуқтага эга.

13.Ўйиннинг нархи қандай шартни қаноатлантиради?

Соф стратегиялар, аралаш стратегияларнинг хусусий ҳоли бўлиб, вектор эҳтимолнинг бирга тенг бўлишидан, соф стратегиялар келиб чиқади.
Ихтиёрий матрицали ўйиннинг оптимал стратегияси ва ўйин нархини, аралаш стратегияларда топиш мумкин.
Теорема. Аралаш стратегияларда, ихтиёрий чекли матрицали ўйин эгар нуқтага эга.

Аралаш стратегияларда ўйиннинг оптимал ечими - жуфт оптимал стратегиялар бўлиб, у қуйидагига асосланади: агар бир ўйинчи ўзининг оптимал стратегиясида муқим турса, иккинчисининг ўз оптимал стратегиясидан четланиши, унга зарарли бўлади. Оптимал ечимга мос бўлган ютуқ, ўйиннинг нархи дейилади. Ўйиннинг нархи ушбу шартни қаноатлантиради : ,

Ўйинлар назариясининг қуйидаги асосий теоремаси ўринлидир.
Теорема (Нейман теоремаси). Ҳар қандай нол йиғиндили чекли ўйин, аралаш стратегияларда ечимга эга.
ва - оптимал жуфт стратегиялар бўлсин. Агар соф стратегия, аралаш стратегиянинг оптимал ечимида, нолдан фарқли эҳтимоллик билан қатнашса, у актив стратегия дейилади.
Теорема (актив стратегия тўғрисида). Агар ўйинчилардан бири актив стратегиялар чегарасидан чиқмаса ва, бошқа ўйинчи ўзининг оптимал аралаш стратегиясида қолса, у ҳолда ютуқ ўзгармас бўлиб, ўйин нархи га тенг бўлади.