4 – мавзу. ЎЙинлар назарияси

Шахсий юриш – ўйинчининг онгли равишда, ҳаракатлар вариантидан бирини танлашдан иборат (масалан, шахмат ўйинида).
Тасодифий юриш – ўйинчининг тасодифий танлаган ҳаракатидир (масалан, ўйин соққасини отиш). Биз фақат шахсий юришларни кўриб чиқамиз.
Ўйинчи юришни, ўйиннинг ҳар бир босқичидаги конкрет вазиятга боғлиқ равишда танлайди. Ўйинчи маълум бир стратегияни, олдиндан танлаган бўлиши ҳам мумкин.
Ўйин чекли дейилади, агар ҳар бир ўйинчининг чекли сондаги стратегиялари мавжуд бўлса, ва аксинча бўлса, чексиз дейилади.
Ўйин жуфт дейилади, агар унда иккита ўйинчи қатнашса. Кўпчилик билан ўйин бўлади, агар унда иккитадан ортиқ ўйинчи қатнашса. Биз фақат жуфт ўйинларни кўриб чиқамиз.
8.Тўлов матрицаси ва соф стратегиялар деганда нимани тушунасиз?
Жуфт чекли ўйинни кўриб чиқамиз. ўйинчи, та стратегияга эга бўлсин. ўйинчининг эса, та, стратегияси бўлсин (1 - жадвал). Ўйинчилар ихтиёрий ва жуфт стратегияларни танлашидан, бир қийматли ўйин натижаси ҳосил бўлади. Бу дегани, ўйинчининг ютуғи (манфий ёки мусбат) ва ўйинчининг ютқазиши содир бўлади. Ихтиёрий жуфтлик учун , ўйин нархи дейилади. ва ўйин жуфтлигига мос элементлари ютуқлардан иборат бўлган матрица тўлов матрицаси дейилади. Бу матрицанинг умумий кўриниши 1 - жадвалда келтирилган. ўйинчи, та, стратегиядан, ўйинчи эса, та, стратегияга эга.
1 - жадвал

Стратегиялар			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

Жадвалнинг сатрлари ўйинчининг стратегияларига, устунлари эса ўйинчининг стратегияларига мос келади. Қуйидаги ўйин учун тўлов матрицасини тузамиз.

Мисол. ёки ўйинчиларнинг ҳар бири, бир бирига боғлиқ бўлмаган ҳолда 1,2, 3 рақамларини ёзади. Агар рақамларнинг айирмаси мусбат бўлса, у ҳолда А ўйинчи айирмага тенг бўлган ютуққа эришади. Агар айирма нолдан кичик бўлса, у ҳолда В ўйинчи ютади. Агар айирма нолга тенг бўлса, дуранг бўлади.
ўйинчининг учта стратегияси бор: A₁= 1, A₂= 2, A₃= 3,
ўйинчининг ҳам учта стратегияси бор: В₁= 1, В₂= 2, В₃= 3.

B A	B1= 1	B2= 2	B3= 3
A1 = 1	0	-1	-2
A2= 2	1	0	-1
A3= 3	2	1	0

ўйинчининг мақсади - ўзининг ютуғини максималлаштиришдан, ўйинчининг мақсади эса - ўзининг ютқазишини минималлаштиришдан иборат. Бу нол суммали жуфт ўйин ҳисобланади. Масалан, – ўйинчининг ютуғи, – ўйинчининг ютуғи. Бу матрицали ўйин бўлиб, унинг тўлов матрицаси ушбу кўринишдан иборат.
.
Ўйиннинг юқори ва қуйи чегаралари. Ўлчови , бўлган, матрицали ўйиндан, стратегиялардан энг яхшисини аниқлаймиз. ўйинчи стратегиялардан бирини танлаши билан, ўйинчи ҳам, ўйинчининг ютуқлари минимал ( ўйинчи, ўйинчига зарар келтиришга интилади) бўладиган, стратегиялардан бирини қўллайди. билан, ўйинчининг стратегиялари орасидан, энг кичик ютуғини (тўлов матрицаси _- сатридаги энг кичик сон), ўйинчининг мумкин бўлган барча стратегияларини ҳисобга олган ҳолда, белгилаймиз, яъни
(1)
сонлар орасидан энг каттасини танлаймиз. ни ўйиннинг қуйи нархи, ёки максимал ютуқ (максимин) деб атаймиз. Бу, ўйинчининг ҳар қандай стратегиясида, ўйинчи учун кафолатланган ютуқ бўлади. Демак,
(2)
Агар стратегия, максиминга мос келса, бу максимин стратегия дейилади. ўйинчининг мақсади, ўйинчининг ютуқларини камайтириш бўлиб, бунинг учун стратегиялардан бирини танлаётганда, нинг мумкин бўлган барча максимал ютуқларини ҳисобга олади. Белгилаш киритамиз
(3)
сонлар орасидан энг кичигини билан белгилаб, уни ўйиннинг юқори чегараси ёки минимакс ютуқ (минимакс) деб атаймиз. Бу, ўйинчи учун кафолатланган ютқазиш бўлади. Демак,
(4)
Агар стратегия, минимаксга мос келса, бу минимакс стратегия дейилади. Агар ўйинчиларга эҳтиёт чора сифатида минимакс ва максимин стратегиялардан бирини танлаш зарур бўлса, бу минимакс принципи дейилади.
Ўйин нархи, қуйидаги тенгсизликни қаноатлантиради: .