30 Маъруза Биринчи тур Фредголм тенгламаси Нокоррект масалаларни ечиш

30 - Маъруза
Биринчи тур Фредголм тенгламаси Нокоррект масалаларни ечиш.
Режа :

1. 
   Нокоррект масала.
   
2. 
   Озод ³адга нисбатан тур²унмаслик.
   
3. 
   Масалани регулярлаштириш.
   

Биринчи тур Фредгольм интеграл тенгламаси нокоррект масалаларга мисол б°лади. Бундай масалаларни ечиш методларини °рганишга киришишдан олдин нокоррект масалаларни ±араймиз. Математик масала ечимини ани±ловчи барча катталиклар бошлан²ич берилганлар деб айтилади. Масалан:

(1)
Фредгольм интеграл тенгламасида унинг эркин ³ади f(x), ядроси , параметри, ва [a,b] кесма бошлан²ич берилганлар ³исобланадилар.
К°п ³олларда бошлан²ич берилганлар °лчаш натижасида ³осил б°ладилар, шунинг учун улар та±рибий б°ладилар. Шу сабабли ечим ³ам та±рибий топилади. Шунинг учун ечими ±уйидаги шартларни ±аноатлантирадиган масалалар ало³ида а³амиятга эгадирлар:
1. Бошлан²ич берилганларнинг бирор бир мумкин б°лган °згариш орали²идан олинган ихтиёрий ±ийматлари учун ечим мавжуд;
2. Бошлан²ич берилганларнинг "озгина" °згариши ечимни "озгина" °згартиради, яъни ечим бошлан²ич берилганларнинг °згаришига нисбатан тур²ун.
Бундай масалаларни одатда коррект ±уйилган ёки ±ис±ача коррект деб айтишади.
Аммо амалий масалаларни ечишда бундай шартларни ±аноатлантирмайдиган, лекин му³им амалий а³амиятга эга б°лган масалалар к°п.
Бундай масалалар нокорррект ёки коррект ±уйилмаган масала деб айтилади.
₍₂₎
тенглама мана шундай масалаларнинг мисоли б°ла олади. (2)-тенглама аслида функцияни функцияга акслантирувчи интеграл акслантиришдан иборат. Унда асл, эса функциянинг акси б°лади.
Соддалик учун ядрони квадратда узлуксиз деб фараз ±иламиз ва асл функцияни [a,b] сегментда абсалют интегралланувчи деб ³исоблаймиз. Бундай шартлар билан (2)-тенгламадаги интеграл х °згарувчининг узлуксиз функцияси б°лади.
Унда интеграл акслантириш абсалют интегралланувчи функциялар т°пламини [a,b] сегментда узлуксиз функцияларнинг С т°пламига акслатиради.
Акслантиришнинг акслари С т°пламнинг бир ±исмини ташкил ±илиши мумкин.
Унда, агар f(x) °нг томон сифатида С т°пламнинг шу ±исмига тегишли б°лмаган узлуксиз функцияни олсак, унда (2) -тенглама абсалют интегралланувчи функциялар т°пламида ечимга эга б°лмайди ва масала нокоррект б°лади. Масалан, ядро квадратда узлуксиз ва х б°йича [a,b] сегментда узлуксиз дифференциалланувчи б°лсин. (2)- тенгламадаги интеграл [a,b] сегментда х б°йича узлуксиз дифференциалланувчи б°лади. (2)- акслантириш эса абсалют интегралланувчи функциялар т°пламини [a,b] сегментда узлуксиз дифференциалланувчи функциялар т°пламига акслантиради.
Шунинг учун, агар f(x) [a,b] сегментда узлуксиз б°либ диференциалланувчи б°лмаса тенглама абсалют дифферен-циалланувчи функциялар т°пламида ечилмайдиган б°лади.
Ю±орида келтирилган муло³азалар, (2)-тенгламанинг барча бошлан²ич берилганлар учун ³ам ечимга эга б°ла олмаслигини ва шунинг билан корректлигининг биринчи хоссасига эга эмаслигини к°рсатади.
Ечимнинг тур²унлик хоссасига эга эмаслигини ³ам к°рсатамиз.
Фараз ±иламиз (2)-тенгламани ±аноатлантирадиган б°лсин.
функцияни [ ] ±ис±а кесмада сезиларли °згартирамиз ва янги ³осил ±илинган функцияни билан белгилаймиз. ´згартиришдан с°нг (2)-тенглама янги
₍₃₎
тенгликка °тади. Агар ±исм кесма узунлиги етарлича кичик ±илиб олинса, унда функция х аргументнинг барча ±ийматлари учун функциядан оз фар± ±илади. Биз функцияни бирта ±исм кесмада эмас, балки узунликлар йи²индиси кичик б°лган бир ±анча ±исм кесмаларда °згартириб иккита (2) ва (3)- бир хил озод ³адлари кам фар± ±иладиган интеграл тенгламаларни ³осил ±илишимиз мумкин. Бу (2) - интеграл тенглама ечимнинг озод ³адга нисбатан тур²унмаслигини к°рсатади.
К°п ³одисаларни °рганишда, хусусий ³олда кузатиш натижаларини тал±ин этишда ±уйидаги вазият вужудга келади. функция мавжуд б°либ, бу функцияни бевосита °зини кузатмасдан биз аслида
функцияни кузатамиз. Бунда бу функция ±ийматларида ±°з²алишлар мавжуд б°лади.
Шундай ±илиб

масала ечимга эга, аммо биздан

масалани ечиш талаб ±илинади.
Бу масалада б°либ ±°з²алишнинг нормаси кичик:
₍₅₎
(2) ва (4) - масалалар ечимлари орасидаги фар±ни к°ринишда ёзиш мумкин.
Бу фар±
₍₆₎
интеграл тенглама ечимидан иборат.
Фараз ±иламиз ядро ³а±и±ий ва симметрик , яъни б°лсин. _ва узлуксиз б°лсинлар.
Унда
₍₇₎
операторнинг ортонормалланган хос функцияларининг т°ла системаси мавжуд б°лади:
,

Бу ерда ^j_i -кронеккер белгиси
Бу ³олда ядрони

к°ринишда тасвирлаш мумкин.
µаторнинг я±инлашиши

нормада тушинилади.
Охирги муносабатдан

бундан эса n , _n келиб чи±ади.

Фараз ±иламиз б°лсин. (5)-шарт

демакдир.
Агар узо±лашса, унда (6)- тенглама ечимга эга б°лмайди. £атто бу ±атор я±инлашганда ³ам биз ечимнинг нолга интилишига кафолат бера олмаймиз.
£а±и±атдан ³ам, б°лган, °нг томонлар орасида шундай °нг томон мавжудки б°лади. Унда яъни

б°лади.
Лекин биз (4) -масалани ечишга мажбур эмасмиз. Бу масaланинг ечимини ечимга "я±ин" б°лган дастлабки масалага я±ин масалага алмаштиришга ³аракат ±илиш мумкин. Берилган масалани шундай "я±ин" масалага алмаштириш, масалани регулярлаштириш деб айтилади. Буни яна Тихоновчасига регулярлаштириш ³ам деб айтишади.
Биринчи тур Фредгольм интеграл тенгламасини ечишда (2)-масалага "я±ин" б°лган масала сифатида
(8)

тенгламани ±араймиз.

параметр регулярлаштириш параметри деб айтилади.
Теорема. Фараз ±иламиз барча бу ерда б°лсин.
У ³олда

тенгсизлик °ринли
Бу ерда ва , умумий ³олда ечимга бо²ли± б°лган ми±дор.

тенгликка эгамиз.
Бу ерда

ва


функцияни (8)-тенгликка ±°йиб



тенгликка эга б°ламиз.
Шундай ±илиб

айирмани ±араймиз.

тенгликка эгамиз.
Шундай ±илиб хатоликни иккита ва ±°шилувчилар йи²индиси к°ринишда тасвирлаш мумкин:
_{, (9)}
бу ерда




функцияларнинг ортонормалланган б°лганлиги туфайли


б°лганлиги учун _,

Шунинг учун

_{. (10)}
ми±дорни ба³олашга °тамиз.
Энг аввал содда, лекин тез-тез учрайдиган
(11)
шарт бажариладиган ³олни ±араймиз.
Унда
(12)
(9),(10),(12)-муносабатлардан (11)-±°шимча шартнинг бажарилишини талаб ±илиш билан теорема исбот б°лади, чунки
(13)
ва бажарганда .
Шундай ±илиб ми±дорларнинг етарлича кичик б°лганида хатолиги кичик б°лган ечимга эга б°ламиз.
Хатоликнинг нолга интилишини энг яхши ба³осини ³осил ±илиш учун ±ийматни топамиз.
экстре мал ну±тада яъни б°лади.
(13)- муносабатдан б°лганда келиб чи±ади.

Энди теоремани (11)-шартнинг бажарилиш фаразидан воз кечиб исбот ±иламиз.

к°ринишда тасвирлаймиз.
Бу ерда



ба³олар °ринли.
Бу ерда
ва
эканлигини к°рсатамиз. Бунинг учун ³ар ±андай учун б°лганда бажариладиган мавжудлигини к°рсатиш етарли.
Ихтиёрий танлаймиз. ±атор я±инлашувчи б°лганлиги учун шундай мавжудки

бажарилади.
Агар бажарилса , унда ва б°лади.
Шундай килиб

ва
муносабатга эга б°ламиз. Теорема (11)-шартнинг бажарилиш фаразисиз исбот б°лди.