|
5. Ikki o’lchovli diskret tasodifiy miqdorlarni tashkil etuvchilarini shartli
taqsimoti. Shartli matematik kutish
Bizga ma’lumki,
A
va
B
hodisalar bog’liq bo’lsa, u holda
0
)
(
,
)
(
)
(
)
(
A
P
A
P
AB
P
B
P
A
edi. Shu munosabatni boshqacha belgilaymiz, ya’ni
0
)
(
,
)
(
)
(
)
/
(
A
P
A
P
B
A
P
A
B
P
)
\
(
A
B
P
A
ro’y bergandan keyingi
B
hodisani ro’y berish ehtimoli. Endi ana
shuni
)
,
(
Y
X
– tasodifiy miqdorlar sistemasiga qo’llaymiz. Faraz qilaylik,
X
tashkil etuvchini qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlari
n
x
x
x
,...,
,
2
1
va
Y
tashkil
etuvchini qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlari
m
y
y
y
,..,
,
2
1
bo’lsin.
Faraz qilaylik, sinash ntijasida
Y
miqdor
1
y
Y
qiymat qabul qilgan bo’lsin;
bunda
X
tasodifiy miqdor o’zining mumkin bo’lgan qiymatlaridan birini:
1
x
ni, yoki
2
x
ni, .., yoki
n
x
ni qabul qiladi.
X
ning
1
y
Y
shartda, masalan,
1
x
qiymat qabul
qilishi shartli ehtimolini
)
|
(
1
1
y
x
p
orqali belgilaymiz. Bu ehtimol, umuman
aytganda,
)
(
1
x
p
shartsiz ehtimolga teng bo’lmaydi.
Tashkil qiluvchining shartli ehtimollarini umumiy holda quyidagicha
belgilaymiz:
).
,...,
2
,
1
;
,...,
2
,
1
(
)
|
(
m
j
n
i
y
x
p
j
i
X
tashkil etuvchining
j
y
Y
bo’lganda shartli taqsimoti deb
j
y
Y
hodisa
ro’y berdi degan farazda hisoblangan
)
|
(
,..,
)
|
(
),
|
(
2
1
j
n
j
j
y
x
p
y
x
p
y
x
p
Shartli ehtimollar to’plamiga aytiladi.
Y
tashkil etuvchining shartli taqsimoti shunga o’xshash aniqlanadi.
Masalan,
X
ning
1
y
Y
hodisa ro’y berdi degan shartli taqsimoti qonuni Ushbu
formuladan topilishi mumkin:
).
,..,
2
,
1
(
0
)
(
,
)
(
)
,
(
)
|
(
1
1
1
1
n
i
y
P
y
p
у
х
p
y
x
p
i
i
X
tashkil etuvchining shartli taqsimot qonunlari umumiy holda ushbu munosabat
orqali aniqlanadi:
.
)
(
)
,
(
)
|
(
j
j
i
j
i
y
p
y
x
p
y
x
p
Y
tashkil etuvchining shartli taqsimot qonunlari shunga o’xshash aniqlanadi:
.
)
(
)
,
(
)
|
(
i
j
i
i
j
x
p
y
x
p
x
y
p
Umumiy holda
)
,
1
(
n
i
x
X
i
qiymatni qabul qilganda
)
,
1
(
m
j
y
Y
j
qiymatni
qabul qilish shartli ehtimollari quyidagicha:
)
(
)
;
(
|
i
j
i
i
j
х
P
у
х
P
x
X
y
Y
P
,
shu bilan birga
1
|
1
n
i
i
j
x
X
y
Y
p
.
Misol.
Ikki o’lchovli diskret tasodifiy miqdor taqsimoti quyidagi jadvalda berilgan:
X
Y
1
x
2
x
3
x
5
,
0
1
y
25
,
0
10
,
0
30
,
0
8
,
0
2
y
0,23
0,14
0,08
1
y
Y
bo’lgandagi
X
tashkil etuvchini taqsimot qonuni topilsin.
)
(
1
y
p
ni topamiz:
.
55
,
0
30
,
0
10
,
0
15
,
0
)
;
(
)
;
(
)
;
(
)
(
1
3
1
2
1
1
1
y
x
p
y
x
p
y
x
p
y
p
Endi
)
|
(
),
|
(
),
|
(
1
3
1
2
1
1
y
x
p
y
x
p
y
x
p
larni quyidagicha topamiz:
11
3
55
,
0
15
,
0
)
(
)
;
(
)
(
1
1
1
1
1
у
P
у
x
P
у
x
P
,
11
2
55
,
0
10
,
0
)
(
)
;
(
)
(
1
1
2
1
2
у
P
у
x
P
у
x
P
,
11
6
55
,
0
30
,
0
)
(
)
;
(
)
(
1
1
3
1
3
у
P
у
x
P
у
x
P
.
Izlanayotgan
X
ni tashkil etuvchini taqsimoti quyidagicha bo’ladi:
X
3
5
8
1
y
Y
X
P
11
3
11
2
11
6
Tekshirish
1
11
6
11
2
11
3
. Demak, taqsimot to’g’ri tuzilgan.
Ta’rif.
X
tasodifiy miqdor
x
X
qiymatni qabul qilgandan keyingi
Y
ni
shartli matematik kutish deb,
Y
ni qiymatlari bilan shartli ehtimollari
ko’paytmalarining yig’indisiga aytiladi.
).
|
(
|
1
x
y
p
y
x
X
Y
М
j
m
j
j
Shartli matematik ketish
)
|
(
x
Y
М
-
х
ning funksiyasi. Shuni quyidagicha
ifodalaymiz:
x
f
x
Y
М
)
|
(
va buni
Y
ni
X
ga regressiya tenglamasi deb ataymiz.
Xuddi shunday
X
ni
Y
ga regressiya tenglamasi quyidagicha belgilanadi:
.
)
|
(
у
y
X
М
Misol.
Ikki o’lchovli deskret tasodifiy miqdor quyidagi jadvalda berilgan.
X
U
4
1
x
8
2
x
10
3
x
2
1
y
0,12
0,08
0,35
6
2
y
0,18
0,22
0,05
Y
tashkil etuvchini
4
1
x
X
qiymatdagi shartli matematik kutishi topilsin.
Yechish:
.
30
,
0
18
,
0
12
,
0
)
;
(
)
;
(
)
(
2
1
1
1
1
y
x
p
y
x
p
x
p
Endi shartli taqsimotlarni topamiz:
;
4
,
0
10
4
30
,
0
12
,
0
;
|
1
1
1
1
1
х
Р
у
х
Р
x
y
.
6
,
0
10
6
30
,
0
18
,
0
;
|
1
2
1
1
2
х
Р
у
х
Р
x
y
p
Y
2
6
1
|
x
Y
p
0,4
0,6
.
4
,
4
6
,
3
8
,
0
6
,
0
6
4
,
0
2
|
|
|
|
1
2
2
1
1
2
1
1
1
1
x
y
p
y
x
y
p
y
x
y
p
y
х
X
Y
М
j
j
j
6. Ikki o’lchovli tasodifiy miqdorlarni sonli xarakteristikalari.
Korrelyasiya momenti. Korrelyasiya koeffisiyenti.
Ikki o’lchovli tasodifiy miqdorlarni sonli xarakteristikalaridan korrelyasiya
momenti va korrelyasiya koeffisiyentlarini ko’rib chiqamiz.
1-Ta’rif.
X
va
Y
tasodifiy miqdorlarni korrelyasiya momenti deb, ularning
chetlanishlari ko’paytmasidan olingan matematik kutishga aytiladi:
)]}.
(
)][
(
{[
Y
M
Y
X
M
X
M
xy
Agar tasodifiy miqdorlar diskret bo’lsa, korrelyasiya momenti quyidagi formula
bilan hisoblanadi:
),
,
(
)
(
)
(
1
1
j
i
n
i
i
m
j
i
xy
у
x
p
Y
M
у
X
M
x
agar uzluksiz bo’lsa,
.
)
,
(
)]
(
)][
(
[
dy
dx
y
x
f
Y
M
y
X
M
x
xy
1-Teorema.
Ikkita
X
va
Y
o’zaro bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar korrelyasiya
momenti nolga teng bo’ladi.
Isbot.
X
va
Y
lar o’zaro bog’liqsiz bo’lgani uchun
)
(
X
M
X
va
)
(
Y
M
Y
lar
ham o’zaro bog’liqsiz bo’ladi. Matematik kutishni va chetlanishning xossalaridan
foydalanib, quyidagini hosil qilamiz:
.
0
)]
(
[
)]
(
[
)]}
(
)][
(
{[
Y
M
Y
M
X
M
X
M
Y
M
Y
X
M
X
M
xy
2-Ta’rif.
X
va
Y
tasodifiy miqdorlarni korrelyasiya momentini ularning
o’rtacha kvadratik chetlanishlari ko’paytmasi nisbatiga korrelyasiya koeffisenti
deyiladi:
у
х
ху
ху
r
.
2-Teorema.
X
va
Y
tasodifiy miqdorlarni korrelyasiya momentini absolyut
qiymati, ularning dispersiyalari o’rta geometrigidan oshmaydi:
.
y
x
xy
D
D
3-teroyema.
Korrelyasiya koeffisenti absolyut qiymati bo’yicha 1 dan katta
emas:
.
1
xy
r
Korrelyasiya
koeffisenti tasodifiy miqdorlar orasidagi bog’lanishni
yo’nalishini hamda kuchini aniqlaydi. Agar
0
xy
r
bo’lsa - bog’lanish teskari,
0
xy
r
bo’lsa - bog’lanish to’g’ri.
Agar
1
xy
r
bo’lsa, bog’lanish to’liq (funksional),
0
xy
r
bo’lsa, tasodifiy
miqdorlar orasida bog’lanish bo’lmaydi,
xy
r
1 ga yaqin bo’lsa, bog’lanish kuchli,
xy
r
nolga yaqin bo’lsa, bog’lanish kuchsiz bo’ladi.
Tayanch iboralar
Ikki o’lvochli (kup o’lchovli) tasodifiy miqdorlar. Sonli
xarakteristikalar, korrelyasiya momenti va korrelyasiya koeffisiyenti.
Takrorlash uchun savollar
1. Ikki o’lchovli tasodifiy mikdor taqsimot funksiyasi.
2. Ikki o’lchovli uzluksiz tasodifiy miqdorni zichlik funksiyasi.
3. Korrelyasiya momenti va koeffisiyenti.
Do'stlaringiz bilan baham: |
