3. Tixonov bo‘yicha korrektlik Quydagi 1-tur operator tenglamani qo‘yamiz 1)

3. Tixonov bo‘yicha korrektlik
Quydagi 1-tur operator tenglamani qo‘yamiz
(3.1)
bu yerda -Banax fazolari -kompakt operator.Faraz qilaylik.X fazosida N to‘plam ajratilgan bo‘lsin,
Tarif 3.1 [16](3.1) masala Tixonov bo‘yicha korrekt qo‘yilgan deyiladi,agar quydagi shartlar bajarilsa:

1. 
   boshlang‘ichidan malumki masalaning yechimi mavjud va to‘plamga tegishli;
   
2. 
   masalaning yechim toplamda yagona;
   
3. 
   ning yechimi to‘plamdan tashqariga chiqarmaydigan cheksiz kichik o‘zgarishiga yechimning cheksiz kichik o‘zgarishi mos keladi.
   

bilan to‘plamning operator orqali ga aksini belgilaymiz: .
U xolda 3) shart quydagi ko‘rinishni oladi:
3) to‘lamda operator uzluksiz.
to‘plam korrektli to‘lami deyiladi.Umuman aytganda chiziqli fazo bo‘lmaganligi uchun, (3.1) masala bunday ko‘inishda chiziqsiz masala bo‘lib qoladi.
Klassik korrektlik bilan Tixonov bo‘yicha korrektlik tushunchalari orasidagi bog‘lanish va farqni ko‘rib chiqamiz.Tixonov boְ‘yicha korrektlikni nazariy tekshirishda mavjudlik teoremasi isbotlanmaydi.Yechimning mavjudligi va korrektlik to‘plamga tegishliligi masalaning qo‘yilishidan faraz qilinadi.Agar qaralayotgan masala fizik masalaning matematik ifodalanishi bilan bog‘liq bo‘lsa,u xolda qo‘shimcha fizik manoda kelib chiqadi.
Tixonov manosidagi korrekt masalalarda yagonalikni isbotlash korrekt masalalarda yagonalikni isbotlashdan deyarli farq qilmaydi.
korrektlik to‘plami sifatida odatda kompakt to‘plam qaraladi.Bu holda teskari operatorning uzluksizligi 2) shartdan kelib chiqadi.
Teorema 3.1 (A.N.Tixonov) Faraz qilaylik,(3.1)tenlamaning yechimi yagona va kompakt to‘lam bo‘lsin.U holda to‘plamda operator uzluksiz bo‘ladi.
Isbot. Teskarisini faraz qilaylik, yani teormaning tasdiqi o‘rinli bo‘lmasin. U holda shunday va mavjudki barcha uchun shunday elementi topiladiki, , bo‘ladi.
Faraz qilaylik, ketma-ketlik da nolga intiluvchi va elementlar ketma-ketligi shundayki,ular uchun o‘rinli bo‘lsin.
, ,
to‘plam kompakt ekanligidan ketma-ketlikning yaqinlashuvchi qism ketma-ketligi mavjud.Bu qismketma-ketlik boshlang‘ich ketma-ketlik bilan ustma-ust tushadi deb faraz qilsak bo‘ladi.
Ushbu

o‘rinli bo‘lsin.
U xolda operatorning uzluksiz ekanligidan
, ,
bo‘ladi.Bu esa (3.1) tenglama yechimi yagonaligiga ziddir.3.1 teorema isbotlandi.
Teorema 3.2 Faraz qilaylik,(3.1) tenglamaning yechimi yagona va korrektlik to‘plami algebrik yeg‘indidan iborat bo‘lsin:
,
bu yerda kompakt to‘plam fazoning chekli o‘lchovli qism fazosi.U holda to‘plamida operator tekis uzluksizdir.
3.2-teorema isbotini [9]-dan topishingiz mumkin. 3.1-teorema ushbu shaklini ham keltiramiz.
Teorema 3.3 Shunday nol nuqtada uzluksiz funksiya mavjudki,barcha uchun quydagi baho o‘rinli
,
bu yerda norma mos ravishda va fazolarida.
Tarif 3.2 [15] Agar nolda uzluksiz shunday , funksiya mavjud va
-da
bo‘lsa, u holda , masala Tixonov manosida to‘plamda korrekt deyiladi.