|
Нисбийлик назариясида зарранинг
импульси ва энергияси.
Бизга маълумки, Лагранж функциясидан тезлик компоненталари бўйича олинган ҳосила, импульснинг мос компоненталарига тенг бўлади. Шу қоидага кўра (8) дан тегишли ҳосилалар олиб, релятивистик заррачанинг импульсини топамиз:
(9)
ёки вектор кўринишида
(10)
Лагранж функцияси (8) вақтга ошкора боғлиқ эмас, шунинг учун Гамильтон функцияси энергияга тенг бўлади:
(11)
Бу муносабат жуда муҳим бўлиб, релятивистик заррачанинг тезлиги нолга тенг бўлганда ҳам унинг энергияси нолдан фарқли ва мусбат бўлишини кўрсатади, яъни
(12)
Бу катталик заррачанинг тинч ҳолатдаги энергияси дейилади ва фундаментал маънога эга. Демак, (11) заррачанинг тинч ҳолатдаги ва ҳаракат билан боғлиқ бўлган кинетик энергияларидан ташкил топган экан.
Одатда Гамильтон функцияси импульс орқали ёзилади. (9) ёки (10) ифодалардан, тезликни импульс орқали ифодалаймиз:
(13)
Бу ифодани (11) га қўйиб, Гамильтон функциясини импульс орқали ёзамиз:
(14)
Заррачанинг тезлиги ёруғлик тезлигидан жуда кичик бўлганда (10) ва (11) классик механикадаги импульс ва энергия ифодасига ўтиши керак. Ҳақиқатдан ҳам да бу ифодалар қуйидаги кўринишни қабул қилади:
(15)
(16)
Бу ерда (15) классик заррачанинг импульсига тенг, (16) эса классик заррачанинг кинетик энергиясидан билан фарқ қилади. Бу яна бир марта релятивистик заррачанинг энергияси икки қисмдан иборат эканлигини кўрсатади.
Шу вақтгача битта заррачани кўриш билан чегараланиб келдик. Аммо унинг элементарлиги (ички тузилиши) тўғрисида гапирганирниз йўқ. Шу сабабли, юқоридаги барча гаплар заррачалар системаси учун ҳарн ўринли бўлади. Фақат бу ҳолда, тезлик заррачалар системасининг бир бутун ҳаракат тезлиги ва массаси эса, тўлиқ массага тенг деб олишимиз керак. Нисбийлик назариясида эркин жисм энергияси, классик физикадаги жисм энергиясидан фарқли равишда, аниқ қийматга эга ва мусбат бўлади. Классик физикада энергия учун ҳисоб боши ихтиёрий бўлганлиги сабабли, у мусбат ёки манфий бўлиши мумкин.
Релятивистик эркин заррача импульси ва энергияси орасидаги боғланишни (9)-(10) ифодаларга асосан қуйидаги кўринишда ёзиш мумкин:
(17)
Заррачанинг тезлиги да (10)-(11) га асосан, унинг импульси ва энергияси чексизга интилади. Аммо (17) ифода бу ҳолда маънога эга бўлади. Масалан, ёруғлик тезлиги билан ҳаракатланувчи массаси нолга тенг бўлган заррачалар учун (17) қуйидаги кўринишга ўтади:
(18)
Массаси нолдан фарқли бўлган жисм ёруғлик тезлигига яқин тезлик билан ҳаракатланганда (ультрарелятивистик заррачалар) ҳолда, унинг тинч ҳолатдаги энергияси ҳаракат билан боғлиқ бўлган энергиядан жуда кичик бўлади. Бу ҳолда (18) муносабат тақрибан ўринли бўлади.
Вариацион принцип орқали заррачанинг энергия ва импульсини тўрт ўлчовли кўринишда аниқлаймиз. Бунинг учун, таъсир интеграли (7) ни вариациялашда
ҳисобга оламиз:
(19)
Бу ерда 4-тезлик. (19) ни бўлаклаб интеграллаймиз:
(20)
Энг қисқа таъсир принципига асосан, зарранинг бошланғич ва охирги нуқталари бир хил бўлган траекториялар солиштирилади. Бунга асосан (20) даги биринчи ҳад нолга тенг. Иккинчи ҳаддан эса
(21)
эканлиги келиб чиқади, яъни эркин заррачанинг тезлиги тўрт ўлчовли кўринишда ҳам ўзгармас эканлиги келиб чиқди. (21) эркин заррачанириг ҳараракат тенгламасининг тўрт ўлчовли кўринишини беради.
Энергия ва импульсни тўрт ўлчовли кўринишда ёзиш учун (20) да масалан юқори чегарада нолга тенг эмас деб олиш керак. Таъсир интегралининг вариацияси нолга тенг бўлмасдан координатанинг функцияси бўлади:
(22)
Бу ерда юқори чегара ўзгарувчи бўлганлиги учун, натижа б нуқтага тегишли эканлигини ёзиш шарт эмас.
Таъсир интегралининг вариацияси, инвариант - скаляр катталик бўлганлиги учун (2.22) ифоданинг ўнг томони ҳам скаляр бўлиши керак, яъни икки 4-векторнинг скаляр кўпайтмасига тенг бўлиши керак. 4-вектор бўлганлиги учун
(23)
тўрт ўлчовли вектор бўлади. Компоненталар мавжудлигини инобатга олсак, бу векторнинг вақт компонентаси энергияни ёруғлик тезлигига нисбатига қолган учтаси эса, уч ўлчовли импульсга тенг эканлигини аниқлаймиз. контравариант 4-импульс дейилади:
(24)
Шундай қилиб, релятивистик механикада заррачанинг энергияси ва импульси битта 4-векторнинг компоненталари экан. Тўрт ўлчовли фазода аниқланган ҳар қандай 4-векторни алмаштириш формулаларига асосан, бир сариоқ система-сидан иккинчисига ўтганда, энергия ва импульс учун алмаштириш формулаларини оламиз:
(25)
Эркин заррача импульсининг квадрати бўлиб инвариант катталикдир.
Кучнинг оддий таърифига ўхшаш 4-куч векторини киритамиз:
(26)
Бу ерда - 4-тезланиш вектори. Компоненталардан фойдаланиб, 4-куч векторининг компоненталарини ёзамиз:
(27)
(28)
(29)
(30)
Бу ерда уч ўлчовли релятивистик куч. Бу векторнинг вақт компонентаси (27) кучнинг бажарган иши билан боғлиқ. 4-кучнинг компоненталарини бирлаштириб ёзиш мумкин:
(31)
Do'stlaringiz bilan baham: |
