3-Мавзу: Ночизиқ тенглама учун итерация усули

Исботи: тенгликда лимитга ўтамиз:
,
яъни ёки .
Қурилган муносабатдаги функция итерацияловчи функция ёки итератор дейилади. Итератор тақрибий ечимлар ва аниқ ечим ни топиш йўлини кўрсатмоқда. Шунинг учун итераторга муҳим тушунча сифатида қараймиз.
Таъриф 1. Ушбу шартни қаноатлантирувчи функция
(4)
да кесмани қисқартириб акс эттирувчи дейилади.
Таъриф 2. нуқта акслантиришнинг қўзғалмас нуқтаси дейилади.
Масалан: функция сонлар ўқини қисқартириб акс эттиради, чунки Лагранжнинг чекли орттирмалар ҳақидаги теоремасига асосан ихтиёрий x₁, x₂ нуқталар учун

тенгсизлик бажарилади, бу ерда с - ўрта қиймат.
Қисқартириб акс эттирувчи функциялар учун одатда 1 теорема кўпинча ўринли бўлади.
Теорема 4. Фараз қилайлик функция кесмани қисқартириб акс эттирувчи ва бошланғич итерация ушбу
(5)
шартни қаноатлантирсин. У ҳолда итерация кетма-кетлиги яқинлашувчан бўлиб қуйидаги фикрлар ўринли бўлади:
1). мавжуд, ,
2). (назарий баҳо) (6)
(амалий баҳо) (7)
Исбот. Кетма-кет ушбу фикрларни исботлаймиз.
1.
Равшанки, деб оламиз, шунинг учун, агар бўлса, у ҳолда қуйидаги тенгсизликлар бажарилади:

Демак, агар бўлса бўлар экан.
2. кетма-кетликни яқинлашувчан эканлигини кўрсатамиз.
Равшанки,


яъни
.
Бу тенгсизликда десак яъни ни фундаментал кетма-кетлик эканлиги келиб чиқади. лигидан ва нинг ёпиқлигидан шундай мавжуд бўладики ,бўлади. У ҳолда ёки эканлиги равшан.
3.(6) тенгсизликни кўрсатамиз:
.
4.(7) тенгсизликни исботлаймиз:
Равшанки,

Бу ердан
.
Бу тенгсизликдан (7) ни топамиз.
(7) нинг ўнг томони осонгина топилади. Уни апостериор баҳо дейилади, яъни қолдиқ ҳад баҳоси ечимнинг тақрибий қиймати топилгандан сўнг аниқланади.(6) баҳо априор баҳо дейилади. Уни биз тақрибий ечим топилмасдан баҳолашимиз мумкин.(6) ва (7) баҳолар итерацияларни қачонгача давом эттириб ҳисоблаш зарурлиги аниқланади. Масалан, бўлиши учун
, (8)
(9)
бажарилиши зарур.(9) тенгсизлик амалда кенг қўлланилади.
Энди тенгламани кўринишга қандай қилиб келтириш мумкинлигини қўрайлик. Бу ерда икки ҳол бўлиши мумкин. 1) Фараз қилайлик ҳосила мавжуд ва тенгсизлик да бажарилсин. У ҳолда
,
деб олишимиз мумкин, чунки
,
яъни дейиш мумкин. 2) Агар бўлса тенгламани қараб яна юқоридаги ҳолга келиш мумкин.
Мисол 3. тенгламани қарайлик. Маълумки, илдизлар , оралиқларда ётади ва

даги ечим учун тенгламани қараймиз.
Бу ҳолда , .
Шунинг учун .
даги ечим учун

;
даги ечим учун деймиз ва қуйидагиларни топамиз:

Равшанки, ечимни деб олиш мумкин.
даги ечим учун деб олиб қуйидаги ҳисоблашларни топамиз:

Демак, ечим сифатида сонни олиш мумкин.