3-Maruza. Vektorlarning vektor va aralash ko’paytmalari, xossalari

1. a·b = b·a, ya’ni skalyar ko‘paytma uchun kommutativlik qonuni bajariladi.
Haqiqatan ham, skalyar ko‘paytma ta’rifini ifodalovchi (1) formulaga asosan
a·b =|a|·|b|sos=|b|·|a|sos=b·a.
2. a·a = |a|² , ya’ni vektorni o‘ziga - o‘zining skalyar ko‘paytmasi (bu ba’zan vektorning skalyar kvadrati deyiladi va a² kabi belgilanadi) uning moduli kvadratiga teng. Bu xossa ham skalyar ko‘paytma ta’rifini ifodalovchi (1) formuladan bevosita kelib chiqadi:
a·a = |a|·|a|sos0=|a|² .
3. Ixtiyoriy λ soni uchun (λa,b)=(a, λb)= λ(a,b).
Dastlab (λa,b)=(a, λb) tenglikni o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. (1) formulaga asosan
(λa,b)= |λa||b|cosφ = |λ|·|a|·|b|cosφ = |a|·|λ|·|b|cosφ = |a||λb|cosφ= (a, λb).
Endi (λa,b)= λ(a,b) tenglikni to‘g‘riligini ko‘rsatamiz. Agar λ≥0 bo‘lsa
(λa,b)= |λ|·|a|·|b|cosφ =λ·|a|·|b|cosφ= λ (a, b).
Agar λ<0 bo‘lsa, λa vektor a vektorga qarama-qarshi yo‘nalgan va shu sababli λa bilan b vektor orasidagi burchak π–φ bo‘ladi. Bu holda cos(π–φ)= – cosφ va
λ = –|λ| bo‘lgani uchun
(λa,b)= |λ|·|a|·|b|cos(π–φ) =–|λ|·|a|·|b|cosφ= λ·|a|·|b|cosφ= λ (a, b).
Jumladan λ=0 holda har qanday a vektor uchun a·0=0·a=0 natijani olamiz.
4. a(b+c)=ab+ac , ya’ni vektorlarning skalyar ko‘paytmasi uchun distributivlik qonuni bajariladi.
Bu xossani isbotsiz qabul etamiz.
2-TA’RIF: Agar a va b vektorlar orasidagi burchak =90⁰ bo‘lsa, ular ortogonal vektorlar deyiladi.
Kelgusida a va b vektorlarning orthogonalligini ab kabi belgilaymiz. Masalan, oldin kiritilgan i, j va k ort vektorlar o‘zaro ortogonal, ya’ni ij, ik va jk bo‘ladi.
TEOREMA: Noldan farqli a va b vektorlar ortogonal bo‘lishi uchun ularning skalyar ko‘paytmasi ab =0 bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot: Dastlab teorema shartini zaruriyligini ko‘rsatamiz:
ab =90⁰ a·b = |a|·|b|sos90⁰ =|a|·|b|0=0;
Endi teorema shartini yetarli ekanligini ko‘rsatamiz:
a·b = |a|·|b|sos=0 , |a| ≠0 , |b|≠0 sos=0 φ=90⁰ ab .

1. 
   Skalyar ko‘paytmaning koordinatalardagi ifodasi. Oldingi mavzuda koordinatalari bilan berilgan vektorlar ustida songa ko‘paytirish, qo‘shish va ayirish amallari oson bajarilishini ko‘rib o‘tgan edik. Endi bu masalani vektorlarning skalyar ko‘paytmasi uchun qaraymiz. Tekislikda koordinatalari bilan berilgan a =(x₁, u₁) va b=(x₂, u₂) vektorlarning skalyar ko‘paytmasini topamiz. Skalyar ko‘paytmaning 2-xossasi va yuqoridagi teoremadan ortlar uchun ushbu tengliklar o‘rinli ekanligini ko‘ramiz: