3-Maruza. Vektorlarning vektor va aralash ko’paytmalari, xossalari

i·i =|i|² =1, j·j =|j|² =1, i·j= j·i =0 .
Endi a =(x₁, u₁) va b=(x₂, u₂) vektorlarning yoyilmasi hamda skalyar ko‘paytmaning 3 va 4 - xossalaridan foydalanamiz:
a·b = (x₁i+ u₁ j)· (x₂ i+ u₂ j)= x₁x₂ i·i+ x₁u₂ i·j + u₁x₂ j·i + u₁u₂ j·j =
= x₁x₂1+ x₁u₂0+ u₁x₂0+ u₁u₂1= x₁x₂+ u₁u₂.
Demak
a·b = x₁u₂+ u₁u₂ (2)
ya’ni vektorlarning skalyar ko‘paytmasi ularning mos koordinatalari ko‘paytmalarining yig‘indisiga teng bo‘ladi.
Masalan, a=(3,6) va b=(5,-2) vektorlarning skalyar ko‘paytmasi
a·b = x₁u₂+ u₁u₂=35+6(–2)=15–12=3.
Xuddi shunday tarzda fazodagi a=(x₁, u₁, z₁) va b=(x₂, u₂, z₂) vektorlarning skalyar ko‘paytmasi uchun
a·b = x₁x₂+u₁u₂+z₁z₂ (3)
formula o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatish mumkin.

2. 
   Skalyar ko‘paytmaning tatbiqlari. Endi skalyar ko‘paytmaning tatbiqlari sifatida quyidagi masalalarni ko‘ramiz.
   

1-masala. Fazoda koordinatalari bilan berilgan a=(x, u, z) vektorning modulini toping.
Yechish. Skalyar ko‘paytmaning 2- xossasiga va (3) formulaga asosan
|a|² =a·a=xx+uu+zz = x² +u² +z² |a| = . (4)
Masalan, a=(3,4,12) vektorning moduli
|a| = .
(4) formulada z=0 deb tekislikda koordinatalari bilan berilgan a=(x, u) vektorning moduli
|a| =
formula bilan hisoblanishini ko‘ramiz.
2-masala. Fazodagi koordinatalari bilan berilgan a=(x₁, u₁, z₁) va b=(x₂, u₂, z₂) vektorlar orasidagi  burchakni toping.
Yechish. Skalyar ko‘paytma ta’rifi (1), (3) va (4) formulalarga asosan
. (5)
Masalan, a=(1,0,1) va b=(0,1,1) vektorlar orasidagi  burchak uchun

natijani olamiz va undan =60⁰ ekanligini topamiz.
(5) formulada z₁=0, z₂=0 deb tekislikda koordinatalari bilan berilgan a=(x₁, u₁) va b=(x₂, u₂) vektorlar orasidagi  burchak

formula bilan topilishini ko‘ramiz.
3-masala. a=(x₁, u₁, z₁) va b=(x₂, u₂, z₂) vektorlarning ortogonallik shartini toping.
Yechish._a'>Yechish. ab bo‘lgani uchun ular orasidagi burchak =90⁰ bo‘ladi va shu sababli sos=0. Unda (5) formuladan
x₁x₂+u₁u₂+z₁z₂ = 0 (6)
tenglikni hosil qilamiz. Bu ikki vektorning ortogonallik shartidir.
Masalan, a=(3,–2,1) va b=(5,7, –1) vektorlar ortogonaldir, chunki
x₁x₂+u₁u₂+z₁z₂ = 35+(–2)7+1(–1) = 15–14–1=0.
(6) formulada z₁=0, z₂=0 deb tekislikda koordinatalari bilan berilgan a=(x₁, u₁) va b=(x₂, u₂) vektorlarning ortogonallik shartini topamiz:
x₁x₂+u₁u₂= 0
4-masala. Fazodagi A(x₁,u₁, z₁) va V(x₂, _,u₂, z₂ ) nuqtalar orasidagi d masofani toping.
Yechish. Bu nuqtalarni kesma bilan tutashtirib, boshi A(x₁,u₁,z₁) nuqtada va uchi V(x₂, _,u₂, z₂ ) nuqtada bo‘lgan a vektorni hosil qilamiz. Ma’lumki, bu vektorning koordinatalari uning uchi bilan boshi koordinatalari ayirmasiga teng bo‘ladi, ya’ni a=(x₂x₁, u₂u₁, z₂z₁). Unda d=‌‌|a| va, (4) formulaga asosan,
(7)
tenglikka ega bo‘lamiz.
Masalan, A(5, –3,1) va B(8,1,13) nuqtalar orasidagi masofa

bo‘ladi.
(7) formulada z₁=0, z₂=0 deb tekislikda koordinatalari bilan berilgan A(x₁, u₁) va B(x₂, u₂) nuqtalar orasidagi d masofa uchun

formula o‘rinli bo‘lishini ko‘ramiz.
5-masala. 5-masala. Korxona ishlab chiqarayotgan mahsulotlar tannarxi (z_i) va hajmi (q_i) bo‘yicha ma’lumotlar quyidagi jadvalda keltirilgan:

Iqtisodiy ko‘rsatgich	I mahsulot	II mahsulot	III mahsulot
Mahsulot tannarxi (zi), so‘m	350	500	250
Mahsulot hajmi (qi), dona	500	700	1200

Mahsulotlarni ishlab chiqarish xarajatlarini toping.

Yechish. Ishlab chiqarilgan mahsulotlarning tannarx vektorini z=(z₁,z₂,z₃), hajm vektorini q=(q₁,q₂,q₃) deb belgilasak, unda ishlab chiqarish xarajatlari
z₁q₁+z₂q₂+z₃q₃= z·q ,
ya’ni z va q vektorlarning skalyar ko‘paytmasiga teng bo‘ladi. Bizning masalada
q=(500, 700, 1200), z=(350, 500, 250), z·q=z₁q₁+z₂q₂+z₃q₃=350·500+500·700+250·1200=825000.
Demak ko‘rsatilgan mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun korxona 825 ming so‘m xarajat qilgan.