3-маъруза тасодифий миқдорлар ва уларнинг турлари. Тақсимот функция ва унинг хоссалари

Шу сабабли, узлуксиз тасодифий миқдорнинг битта қийматни қабул қилиш эҳтимолини ҳисоблашнинг аҳамияти йўқ.

3-хосса. Агар тасодифий миқдорнингмумкин бўлган қийматлари интервалга тегишли бўлса, у ҳолда

(4)
муносабатлар ўринли бўлади.
3-натижа. Агар тасодифий миқдорнинг мумкин бўлган қийматлари бутун ўқда жойлашган бўлса, у ҳолда қуйидаги муносабатлар ўринли:
(5)
Агар Х дискрет тасодифий миқдор бўлиб, қийматларни мос равишда эҳтимоллар билан қабул қилса, унинг тақсимот функцияси қуйидагича бўлади:

Масалалар.
1-масала.Қуйидаги X тасодифий миқдор тақсимот функциясини топамиз.

1. 
   

   X	0	1	2
   P

   Agar bo‘lsa, ;
   

2. 
   Agar bo‘lsa,
   

;

3. 
   Agar bo‘lsa, ;
   
4. 
   Agar bo‘lsa, .
   

Demak,




2-масала. Яшикда 8 та шар бўлиб, 5 таси оқ ва 3 таси қора шарлардан иборат. Яшикдан таваккалига 3 та шар олинади. Агар Х оқ шарлар сони бўлса, бу тасодифий миқдорнинг тақсимот функциясини топинг.
Ечиш: Х тасодифий миқдор 4 та қийматни қабул қилади, яъни оқ шар умуман чиқмаслиги, ёки 1 та оқ ва 2 та қора, ёки 2 та оқ ва 1 та қора шар, ёки 3 таси ҳам оқ шар чиқиши мумкин. Демак,

Х	0	1	2	3
P

Бу эҳтимолларни топамиз:

Х	0	1	2	3
P

Тақсимот функциясини топамиз.

Ечиш. Кўриниб турибдики, учун Х<х ҳодиса мумкин бўлмаган ҳодиса бўлади, яъни

Энди бўлсин, уҳолда

Агар бўлса,

Агар бўлса,

Ҳудди шунингдек, бўлса,
.
Шундай қилиб, тақсимот функциянинг аналитик ифодасини қуйидаги кўринишда ёзамиз.



3-масала. тасодифий миқдор

тақсимот функция билан берилган бўлсин. Синаш натижасида тасодифий миқдор интервалга тегишли қийматларни қабул қилиш эхтимолини топинг.
Ечиш.

Юқорида узлуксиз тасодифий миқдорларни тақсимот функциялари ёрдамида аниқлаган эдик. Аммо тасодифий миқдорларни фақат тақсимот функциялари ёрдамида эмас, балки бошқа функциялар билан ҳам аниқлаш мумкин. Бунинг учун зичлик (дифференциал) функцияси тушунчасини киритишимиз керак бўлади.
Таъриф. Тасодифий миқдорнинг зичлик (дифференциал) функцияси деб, тақсимот функциясидан олинган биринчи тартибли ҳосилага айтилади ва қуйидагича аниқланади
(6)
Узлуксиз тасодифий миқдорлар учун зичлик функцияси муҳим аҳамиятга эга бўлиб, бу функция ёрдамида узлуксиз тасодифий миқдорларнинг барча характеристикаларини аниқлаш мумкин. Бу ерда уларнинг баъзиларини келтириб ўтамиз.
1-теорема. узлуксиз тасодифий миқорнинг интервалга тегишли қийматларни қабул қилиши эҳтимоли зичлик функциясидан дан гача олинган аниқ интеграл билан аниқланади:
. (7)
Исбот.Маълумки, 1-натижага асосан
.
Агар бу ерда Нъютон-Лейбниц формуласи ва зичлик функциясининг таърифи (6) ифодадан фойдалансак, қуйидагини ҳосил қиламиз
.
Бундан ташқари, тасодифий миқдорни абсолют узлуксиз тасодифий миқдор дейилади, агар шундай функция мавжуд бўлсаки, тақсимот функцияси қуйидаги кўринишда ифодаланса
. (8)
Тасодифий миқдорнинг зичлик функцияси қуйидаги хоссаларга эга.