3-Ma’ruza Mavzu: Tеkislikda elеmеntar to‘plamlar va ularning o‘lchоvi. Tеkislikdagi to‘plamning tashqi o‘lchоvi va uning хоssalari. Reja

1-teorema. Agar va − elementar to‘plamlarning chekli yoki sanoqli sistemasi bo‘lib, bo‘lsa,
(2)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Ixtiyoriy ε > 0 va elementar to‘plam uchun
(3)
tengsizlikni qanoatlantiruvchi va to‘plamda saqlanuvchi yopiq elementar
to‘plam mavjud (5-chizmaga qarang, )
Har bir elementar to‘plam uchun ochiq elementar to‘plam mavjudki (6-chizmaga qarang)
(4)
tengsizlik bajariladi. va to‘plamlarning tanlanishiga ko‘ra
munosabat o‘rinli bo‘ladi.

5-chizma 6-chizma
Ochiq to‘plamlar sistemasi dan Geyne-Borel lemmasiga ko‘ra ni
qoplovchi chekli sondagi to‘plamlarni ajratish mumkin.
to‘plam chekli sondagi to‘g‘ri to‘rtburchaklar bilan qoplangani uchun
(5)
tengsizlik o‘rinli. (3) va (5) hamda (4) lardan

ni hosil qilamiz va ε > 0 ning ixtiyoriyligidan (2) tengsizlikning isboti kelib
chiqadi.
1-teorema tasdig‘idagi (2) tengsizlik, o‘lchovning yarim additivlik
xossasi deyiladi.
o‘lchovning yarim additivlik xossasidan uning - additivlik xossasi
kelib chiqadi, ya’ni quyidagi teorema o‘rinli.
2-teorema. elementar to‘plam sanoqli sondagi o‘zaro kesishmaydigan
elementar to‘plamlarning yig‘indisidan iborat, ya’ni
bo‘lsin. U holda quyidagi tenglik o‘rinli
(6)
Isbot. o‘lchovning chekli additivlik xossasiga ko‘ra, ixtiyoriy ℕ uchun

tengsizlik o‘rinli. Agar →∞ da limitga o‘tsak,

bo‘ladi. 1-teoremaga ko‘ra

Oxirgi ikki munosabatdan (6) tenglik kelib chiqadi.