3-Ma’ruza Mavzu: Tеkislikda elеmеntar to‘plamlar va ularning o‘lchоvi. Tеkislikdagi to‘plamning tashqi o‘lchоvi va uning хоssalari. Reja

1-lemma. Tekislikdagi barcha to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasi 𝔖 yarim
halqa tashkil qiladi.
Isbot. va sonlari bilan aniqlanuvchi ochiq to‘g‘ri to‘rtburchak bo‘lganda bo‘sh to‘plamni aniqlaydi, demak ∅ 𝔖 Ikki to‘g‘ri to‘rtburchakning kesishmasi to‘g‘ri to‘rtburchakdir (1-chizma), ya’ni 𝔖 dan 𝔖 ekanligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik to‘g‘ri to‘rtburchak to‘g‘ri to‘rtburchakni o‘zida saqlasin. U holda

munosabatlar o‘rinli. ayirmani quyidagicha tasvirlash mumkin.

bu yerda (2-chizmaga qarang)

Demak, tekislikdagi barcha to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasi 𝔖 yarim halqa
tashkil qilar ekan.

1-chizma 2-chizma
1-ta’rif. 𝔖 yarim halqadan olingan va sonlari bilan aniqlangan (yopiq, ochiq yoki yarim ochiq) to‘g‘ri to‘rtburchak uchun sonni mos qo‘yamiz, agar bo‘sh to‘plam bo‘lsa deymiz va :𝔖→ℝ to‘plam funksiyasini o‘lchov deymiz.
Shunday qilib, 𝔖 dagi har bir to‘g‘ri to‘rtburchakka uning o‘lchovi son mos qo‘yildi. Bu moslik quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
1) - manfiy bo‘lmagan haqiqiy son.
2) :𝔖→ℝ to‘plam funksiyasi additiv, ya’ni agar
𝔖
bo‘lsa, u holda quyidagi tenglik o‘rinli .

3-chizma 4-chizma
Maqsadimiz 1) va 2) xossalarni saqlagan holda o‘lchovni barcha to‘g‘ri
to‘rtburchaklar sistemasi 𝔖 dan kengroq bo‘lgan sinfga davom ettirishdan iborat. Shu maqsadda bilan 𝔖 yarim halqa ustiga qurilgan minimal halqani belgilaymiz.
2-ta’rif. halqa elementlari elementar to‘plam deyiladi.
Ixtiyoriy to‘plam chekli sondagi o‘zaro kesishmaydigan to‘g‘ri to‘rtburchaklarning yig‘indisi shaklida ifodalanadi va aksincha.
Yopiqlik xossa va halqa ta’rifiga ko‘ra quyidagi tasdiq o‘rinli.