3 ma’ruza Mavzu: Ma’lumotlarni shifrlash va arxivlash vositalari Oqimli shifrlash algoritmlari. Reja

Katta sonni tub ko‘paytuvchilarga ajratish va diskret logarifmlash muammosiga asoslangan shifrlash usullari

Ma’lumki, eng ko‘p foydalanib kelingan nosimmetrik tizimlarga bardoshliligi uchta muammoning, ya’ni faktorlash, diskret logarifmlash va EECh gruppasida diskret logarifmlash murakkabligi muammolaridan biri bilan belgilanadigan kriptotizimlar kiradi. Bular bilan bir qatorda qo‘shimcha maxfiylikka ega bo‘lgan nosimmetrik kriptotizimlar ham yuzaga kelmoqda.
RSA shifrlash algoritmi. Diffi va Xelman kritografiya sohasida yangicha yondashishni targ‘ib qilib, ochiq kalitli kriptotizimlarning barcha talablariga javob beradigan kriptografik algoritm yaratish taklifibilan chiqdi. Birinchilardan bo‘lib bunga javoban 1997 yil Ron Rayvets (Ron Rivest), Adi Shamir (Adi Shamir) va Len Adlmen (Len Adlmen)lar shu vaqtgacha tan olingan va amaliy keng qo‘llanib kelingan ochiq kalitli shifrlash algoritm sxemasini taklif qildi va bu algoritm ularning nomi sharafiga RSA algoritmi deb ataldi. RSA algoritmi faktorlash murakkabligiga asoslangan shifrlash algoritmi hisoblanadi.
Rayvest, Shamir va Adlmen tomonidan yaratilgan sxema daraja ko‘rsatkichiga asoslangan. Ochiq matn bloklarga ajratilib shifrlanadi, har bir blok ba’zi berilgan n sonidan kichik bo‘lgan ikkilik qiymatga ega bo‘ladi. Bundan kelib chiqadiki blok uzunligi _{ }dan kichik yoki teng bo‘lishi kerak. Umuman olganda amaliyotda blok uzunligi _{ }ga teng deb olinadi, bu yerda _{ }. Ochiq matn M bloki va shifrlangan matn Cbloki uchun shifrlash va deshifrlash quyidagi formula bilan hisoblash mumkin.
_{ },

Jo‘natuvchi ham, qabul qiluvqi ham n ni qiymatini bilishi kerak. Jo‘natuvchi e ni qiymatini, qabul qiluvchi esa faqat d ni qiymatini bilishadi. Ushbu sxema ochiq kalitli shifrlash algoritmi hisoblanadi, KU={e,n}- ochiq kalit va KR={d,n}-maxfiy kalit hisoblanadi. Bu algoritm ochiq kalit yordamida shifrlanishi uchun, quyidagi talablar bajarilishi kerak.
1. Shunday e, d va n qiymatlar mavjud bo‘lish kerakki, barcha _{ } uchun _{ } tenglik o‘rinli bo‘lishi kerak.
2. Barcha _{ } uchun _{ } va _{ }ni hisoblash oson bo‘lishi kerak.
3. Amaliy jihatdan e va n ni bilmasdan turib d ni qiymatini bilish mumkin bo‘lmasligi kerak.
Birinchi shartga binoan quyidagi munosabatni topish kerak

Eyler funksiyasiga asosan: har qanday ikkita p va q tub sonva har qanday n va m butun sonlar uchun, n=pq va _{ }, va ixtiyoriy k butun son uchun quyidagi munosabat bajariladi.

Bu yerda _{ } Eyler funksiyasi bo‘lib, n dan kichik va n bilan o‘zaro tub bo‘lgan musbat butun son. Eyler funksiyasi _{ } bilan o‘zaro tub bo‘lgan e son tanlab olinadi va talab qilinayotgan munosabat quyidagi shart asosida bajariladi.

Bu quyidagi munosabat bilan ekvivalent:


e va d, _{ } modul bo‘yichao‘zaro teskari son, ya’ni
gcd(_{ }.
Yuqorida keltirilgan parametrlar asosida RSA sxemasini quyidagi tasniflash mumkin:
p va q - tub sonlar (maxfiy, tanlab olinadi),
n=pq (ochiq, hisoblanadi),
shunday e, gcd(_{ } (ochiq, tanlab olinadi),
_{ } (maxfiy, hisoblanadi).
Maxfiy kalit {d,n} dan, ochiq kalit esa {e,n} dan iborat bo‘ladi. Faraz qilaylik A foydalanuvchi ochiq kalitini elon qildi va B foydalanuvchi unga M xabarni jo‘natmoqchi. Bfoydalanuvchi _{ }hisoblab Cni jo‘natadi. Shifrlangan matnni qabul qilgan A foydalanuvchi _{ } yordamida deshifrlab dastlabki ochiq matnga ega bo‘ladi.
Quyida keltirilgan misolda RSA algoritmi amaliy qo‘llash ko‘rsatilgan.
1. Ikkita tub son tanlab olinadi, p=7 va q=17.
2. n=p*q=7*17 hisoblanadi.
3. Eyler funksiyasi hisoblanadi _{ }
4. Eyler funksiyasi _{ } bilan o‘zaro tub bo‘lgan va undan kichkina bo‘lnag e tanlab olinadi; bizni, misolimizda ­e=5.
5. de=1mod 96 vad<96shartni qanoatlantiruvchi dsoni topiladi. d=77, 77*5=385=4*96+1.
Natijada ochiq kalit KU={5,119} va yopiq kalit KR={77,119}hosil bo‘ladi. Yuqoridagi misolda ochiq matn qiymati M=19 olingan. Shifrlash formulasiga ko‘ra ochiq matn qiymati ochiq kalit qiymati yordamida darajaga ko‘tarilib, n modul bo‘yicha qiymati olinadi, ya’ni 19 soni 5 darajaga ko‘tariladi, natijada 2476099 hosil bo‘ladi. Natijani 119 ga bo‘linsa, qoldiq 66 ga teng bo‘ladi. _{ } va shuning uchun ham shifrlangan matn 66 ga teng bo‘ladi. Deshifrlash uchun esa shifrlangan matn qiymati maxfiy kalit qiymati yordamida darajaga ko‘tarilib, n modul bo‘yicha qiymati olinadi, ya’ni_{ } amalni hisoblanadi va dastlabki ochiq matn qiymatiga ega bo‘linadi, ya’ni 19 ga.