3-Ma’ruza Chiziqlimas tenglamalarni yechish usullari: Iterasiya va Nyuton usullari. Geometrik usullar

Iterasiya  metodi  yaqinlashishini  tezlashtirishning  bir  usuli  haqida.

  Iterasiya 

metodining  yaqinlashishi  yoki  uzoqlashishi 

  ildizning  kichik  atrofida 

 

hosilaning 

qiymatiga bog’liq

 

ekanligini  yuqorida ko’rgan edik.  Lekin  J. X. Vegsteyn 1958  yilda iterasiya 

metodini  shunday  o’zgartirishni  taklif  qilgan  ediki,  buni  qo’llaganda 

  ning  qiymati  har 

qanday bo’lganda ham iterasiya jarayoni yaqinlashadi. Mabodo  

 tengsizlik bajarilsa, u 

iterasiya jarayoniga nisbatan Vegsteyn jarayoni tezroq yaqinlashadi. 

Vegsteyn usuli 

                                                (17) 

formuladan topilgan 

 

ni  

                                          (18) 

formula  yordamida 

 

bilan almashtirishdan iborat  bo’lib, bunda   - kerakli ravishda tanlab 

olingan miqdordir. 

 

ning qiymatini aniqlash uchun 10-chizmadan foydalanamiz. 

Faraz  qilaylik, 

  (10)  formula  yordamida 

  orqali  topilgan  bo’lsin,  ya’ni 

. 

U 

vaqtda 

  va 

  nuqtalarning  koordinatalari  mos  ravishda 

  va 

  bo’ladi. 

Bunday  holda 

  uchun  eng  qulay  qiymat 

M 

nuqtaning  abssissasidir.  Uni  topish  uchun 

 

kesma ustida 

 nuqtani olamiz. Endi (18) ning har ikkala tomoniga 

 

ni

 

qo’shib,  

                                             (19) 

ni hosil qilamiz. Chizmadan foydalanib, (3.17) ni 

                                                   

 

(20) 

ko’rinishda yozishimiz va  

                                           (21) 

tengliklarning o’rinli ekanligini ko’rishimiz   mumkin, bu yerda 

. 

n

n

p

n

n

n

n

p

n

n

p

n

q

q

q

q

x

x

x

x

x

х

































1

.

.

.

|

|

.

.

.

|

|

|

|

1

1







n

n

p

n

q

q

x

x









1

|

|



p

1

0





q

}

{

n

x

n

n

x







lim



}

{

n

x

)

(

x



)

(

1

n

n

x

x













~



~

|

~

|

|

)

(

)

~

(

|

|

~

|



























q

1

0





q







~





p



)

(

x





)

(

x





1

|

)

(

|





x



)

(

x

х





1



n

х

1

1

)

1

(











n

n

n

x

q

qz

z

1



n

z

q

q

1



n

х

n

z

)

(

1

n

n

z

x







А

B

))

(

,

(

n

n

z

z



)

,

(

1

1





n

n

x

x

1



n

z

AB

)

,

(

1

1





n

n

x

z

C

1

)

1

(









n

n

z

q

qz

)

)(

1

(

)

(

1

1

1















n

n

n

n

x

z

q

z

z

q

BC

q

qАА

)

1

(





)

0

)

(

(

),

~

(















n

n

x

x

AC

MC

BC





n

n

n

z

x

х







~

1

---

 ning taqribiy qiymatini topish uchun 

 

ni taqribiy ravishda quyidagicha almashtiramiz: 

.          (22)  

(20)- (22) lardan 

 

ni hosil qilamiz va 

 

ning taqribiy qiymatini topamiz: 

.                   (23) 

 

 

9-chizma 

 (18) va (23) formulalardan ko’ramizki,  

.                                            (24) 

Bu  formula 

x

p+1

 

o’rnida  ishlatiladigan 

  ning  qiymatini  beradi.  Vegsteyn  usulini  amalda 

qo’llash uchun ildizning nolinchi yaqinlashishi 

 ga bir marta oddiy iterasiyani qo’llash kerak. 

Bu  birinchi  qadamdan  so’ng 

  ni  topish  uchun  esa  (10)  formulani 

 

qurilishda 

qullaymiz. Biz bu yerda bu jarayonning oddiy iterasiya jarayoniga nisbatan tezroq yaqinlashishini 

qat’iy ravishda asoslab o’tirmasdan misol keltirish bilan chegaralanamiz. 

Hisoblash  xatosining  iterasion  jarayonning  yaqinlashishiga  ta’siri.

  Biz  oldingi 

punktlarda  iterasion  jarayonning  ideal  modelini  ko’rib  chiqqan  edik.  Bu  modelda 

  ketma-

ketlikniig barcha elementlari absolyut aniq hisoblangai deb faraz qilingan edi. Aslida esa qulda 

hisoblanayotganda  ham,  mashinada  hisoblanayotganda  ham,  biz  amamalarni  chekli  miqdordagi 

raqamlar  ustida  bajaramiz.  Buning  natijasida,  ya’ni  yaxlitlash  hisobidan,  hisoblash  xatosi  kelib 

chiqadi.  Iterasiyaning  birinchi  qadamida 

 

o’rniga  unga  yaqinroq  bo’lgan 

  hosil 

qilamiz.  Bu  yerda 

  hisoblash  xatosi  hosil  bo’ladi.  Ikknnchi  qadamda  esa  xato  ikki   

sababga   ko’ra hosil   bo’ladi: birinchidan 

 funksiyada 

 o’rniga 

 qo’yiladi, ikkinchidan 

  yaxlitlash  xatosi  bilan  hisoblanadi.  Demak,  topilgan 

  qiymat  faqat  taqribiy  ravishda 

 ga teng: 

 hisoblash xatosidir. 

Shunday qilib, iterasiya metodiki qo’llayotganda 

 ketma-ketlik o’rniga 

 

ketma-ketlikka ega bo’lamiz, bu yerda 

 - hisoblash xatosi. 

Yuqorida  isbot    qilingan      teoremaning  xulosasi 

  ketma-ketlikka  taalluqli  bo’lgani 

uchun,  agar  biz  qo’shimcha  shart  qo’ymasak,  bu  xulosa 

  ketma-ketlik  uchun  o’rinli 

bo’lmaydi,  xatto  bu  ketma-ketlik 

  ildizga  yaqinlashmasligi  ham  mumkin.  Shuning  uchun 

quyidagi teoremani isbot qilamiz. 

Nyuton  metodi

  sonli  tenglamalarni  yechishning  juda  ham  effektiv  metodidir.  Bu 

metodning  afzalligi  shundan  iboratki,  hisoblash  sxemasi  murakkab  bo’lmagan  holda  ketma-ket 

yaqinlashishlar ildizga tez yaqinlashadi. Nyuton metodi iterasiya metodi kabi universal metoddir. 

Bu  metod  yordamida  sonli  tenglamalarning  haqiqiy  va  kompleks  ildizlarini  topish  hamda  keng 

sinfdagi chiziqli bo’lmagan funksional tenglamalarni  yechish mumkin. Formal nuqtai nazardan 

qarlaganda  Nyuton  metodi  iterasiya  metodining  xususiy  holidir,  aslida  esa  bu  metodning  asl 

q

)

~

(

n

x





1

1

1

1

)

(

)

(

)

~

(























n

n

n

n

n

n

n

n

n

z

z

x

x

z

z

z

z

x







1

1

)

~

(

1























n

n

n

n

n

z

z

x

x

x

AC

BC

q

q



q

n

n

n

n

n

n

z

z

x

x

x

x

q

















1

1

1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

z

z

x

z

x

x

x

x

z



























1

1

1

1

1

1

)

)(

(

1



n

z

0

x

1



n

х

)

(

1

n

n

z

x







 

n

x

)

(

0

1

x

x





1

x

0

0

1







x

x

)

(

x



1

x

1

x

)

(

1

x



2

x

)

(

1

x









1

1

1

2

,

)

(







x

x

.)

.

.

2

,

1

,

0

(



n

.)

.

.

,

1

,

0

(

,

)

(

~

1









n

x

x

n

n

n





n



}

{

n

x

}

~

{

n

x



---

g’oyasi  iterasiya  metodining  g’oyasidan  tamoman  farqlidir.  Bu  metod  chiziqli  masalalarning 

ketma-ketligini  yechishga  olib  keladi.  Buning  uchun  berilgan  tenglamadan  uning  bosh  chiziqli 

qismi ajratib olinadi. Biz avval bita sonli tenglama uchun Nyuton metodini ko’rib chiqamiz. Faraz 

qilaylik, bizga  

                                                              (25) 

tenglama va uning ildiziga dastlabki yaqinlashish qiymati 

 berilgan bo’lsin. Bu yerda 

 ni 

yetarlicha  silliq  funksiya  deb  olamiz.  Odatdagidek,  (25)  tenglamaning  aniq  ildizini 

  orqali 

belgilaymiz.  Endi 

  deb  olib, 

  funksiyaning 

  nuqta  atrofidagi    Teylor  qatori 

yoyilmasidagi dastlabki ikkita hadini olib nolga tenglashtirsak,   ga nisbatan quyidagi 

 

 chiziqli tenglama ega bo’lamiz. Bu tenglamani yechib,   xatoning taqribiy qiymatini topamiz: 

. 

 

Bu tenglamani 

 ga keltirib qo’yib, navbatdagi yaqinlashish 

 

ni topamiz. Xuddi shunga o’xshash 

                                              (26) 

  

ketma-ket yaqinlashishlarni hosil qilamiz. Bu formulalar yordamida Nyuton ketma-ketligini hosil 

qilish  uchun 

  lar 

  funksiyaning  aniqlanish  sohasida  yotish  va  ular  uchun 

 

bo’lishi kerak. 

 

Nyuton  metodi  judda  ham  sodda  geometrik  ma’noga  ega.  Haqiqattan  ham, 

 

funksiyani  

                           (27) 

to’g’ri chiziq  bilan almashtiramiz, bu to’g’ri chiziq  esa 

  nuqtada 

  egri 

chiziqqa  o’tkazilgan  urinmadir.  Nyuton  metodi 

urinmalar  metodi

  deb  ham  yuritiladi.  Nyuton 

metodini  iterasiya  metodidan  keltirib  chiqarish  ham  mumkin,  buning  uchun  (25)  tenglamaning 

 kanonik ko’rinishida 

 

deb olish kifoyadir. 

Mustaqil ishlash uchun savollar 

 

1.

 

Dastlabki yaqinlashishni topish. 

2.

 

Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajratish. 

3.

 

Iterasion usullarning asosiy mohiyati. 

4.

 

Oddiy iterasiya usulining geometrik ma’nosi. 

5.

 

Iterasiya usulini yaqinlashishini baholash. 

 

0

)

(



x

f

0

x

)

(

x

f



h

x





0



)

(

x

f

0

х

h

h

x

f

x

f

h

x

f

)

(

)

(

)

(

0

0

0

0











h

)

(

)

(

0

0

0

x

f

x

f

h







h

x





0



)

(

)

(

0

0

0

1

x

f

x

f

x

x







.)

.

.

,

1

,

0

(

)

(

)

(

1











n

x

f

x

f

x

x

n

n

n

n

n

x

)

(

x

f

0

)

(





n

x

f

)

(

x

f

y



)

)(

(

)

(

n

n

n

x

x

x

f

x

f

y









))

(

,

(

n

n

n

x

f

x

M

)

(

x

f

y



)

(

x

x





)

(

)

(

)

(

x

f

x

f

x

x









---