|
2- Misol:
tizimni Z ta itaratsiya bajarib yeching va xatoligini baholang.
Yechish. Berilgan tizim-matritsaning diaganal elementlari birga yaqin, qolganlari esa birdan ancha kichik.
Shu sababli itaratsiya usulini qo`llash uchun berilgan tizimni quyidagicha yozib olamiz:
x1 = 0,795 - 0,02x1 + 0,05x2 + 0,10x3;
x2 = 0,849 + 0,11x1 - 0,03x2 + 0,05x3;
x3 = 1,398 + 0,11x1 + 0,12x2 - 0,04x3.
(2.8) yaqinlashish sharti bu tizim uchun bajariladi. Haqiqatdan ham,
Boshlangich yaqinlashish x(0) sifatida ozod hadlar ustuni elementlarini ikki xona aniqlikda olamiz
Endi ketma-ket quyidagilarni aniqlaymiz:
k = 1 da
x1(1) = 0,795 – 0,016 + 0,0425 + 0,140 = 0,9615 0,962
x2(1) = 0,849 + 0,088 – 0,255 + 0,070 = 0,9815 0,982
x3(1) = 1,398 + 0,088 + 0,1020 – 0,056 =1,532
k = 2 da x1(3) = 0,980, x2(3) = 1,004, x3(3) = 1,563
k = 3 da x1(3) = 0,980, x2(3) = 1,004, x3(3) = 1,563
Noma`lumlarning k=2 va k=3 dagi qiymatlari 310-3 dan kamroq farq qilayapti, shuning uchun noma`lumlarning taqribiy qiymatlari sifatida
x1 0,980, x2 1,004, x3 1,563
larni olamiz.
2-mavzu: Ko’p o’lchovli issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamalarni sonli yechish usullari
Yig’indili approksimatsiyalash metodini qo’llagan holda parabolik tenglamalar uchun murakkab formaga ega bo’lgan sohalarda tejamli additiv sxemalarni tuzish mumkin. Shu maqsadda murakkab formadagi –o’lchamli sohada issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun lokal-bir o’lchamli sxemalarni batafsil qarab chiqamiz. –o’lchamli Evklid fazosi dagi nuqtani qaraylik.
Silindrda issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun quyidagi masalani qaraylik
(1)
bu yerda sohaning chegarasi, esa ikkinchi tartibli elliptik operator. Bayon qilishni soddalashtirish maqsadida –Laplas operatori, ya’ni deb qaraymiz. Masala (1) yetarlicha silliq yagona yechimga ega deb faraz qilamiz.
Qaralayotgan G sohaga nisbatan konstruktiv ravishda ikkita farazdan foydalaniladi:
1) G sohaning o’qiga parallel bo’lgan ixtiyoriy to’g’ri chiziq bilan kesishmasi, chekli sondagi intervallardan tashkil topgan bo’ladi;
2) sohada qadamlar bilan bog’liqli to’r tuzish mumkin.
Kelgusida biz to’g’ri chiziq va G sohaning kesishmasi bitta intervaldan iborat deb hisoblaymiz.
Shunday qilib, to’rning ichki tugunlari to’plami nuqtalardan tashkil topgan bo’ladiki, ular gipertekisliklar kesishi natijasida hosil bo’ladi, -esa chegaraviy nuqtalar to’plami bo’lib, ular to’g’ri chiziqlarning kesishishi natijasida paydo bo’ladi, to’g’ri chiziqlar chegara orqali barcha ichki tugunlar orqali o’tadi.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
-orqali yo’nalish bo’yicha barcha chegaraviy tugunlarni, -orqali esa barcha chegaraviy tugunlar to’plamini, -orqali yo’nalish bo’yicha chegaraga yaqin tugunlar to’plamini, -orqali esa barcha chegaraga yaqin tugunlar to’plamini, -orqali yo’nalish bo’yicha barcha noregulyar tugunlar to’plamini, orqali esa barcha noregulyar tugunlar to’plamini, -orqali barcha regulyar tugunlar to’plamini belgilaymiz.
Ayirmali operator ni tugunda approksimatsiyalash uchun quyidagi nuqtalardan tashkil topgan uch nuqtali shablonni tanlab olamiz.
ayirmali operator ushbu ko’rinishga ega bo’ladi:
a) Regulyar tugunlarda
(2)
b) Noregulyar tugunlarda
(3)
bu yerda noregulyar tugun dan chegaraviy tugun yoki bo’lgan masofa.
Ba’zan shunday ham bo’ladiki, nuqtaga qo’shni bo’lgan har ikkala tugun ham chegaraviy tugun bo’lib qolishi mumkin, yani bunday holda ayirmali operator quyidagicha aniqlanadi.
, (4)
bu yerda tugun va tugunlar orasidagi masofa uchun ushbu ifoda umumiy bo’lib hisoblanadi: agarda regulyar tugun bo’lsa, u holda bo’ladi hamda biz formula (2) ga kelamiz.
Regulyar tugunlarda ikkinchi tartibli approksimatsiyaga ega bo’ladi, noregulyar tugunlarda esa nolinchi tartibli lokal approksimatsiyalaydi, ya’ni dastlabki tenglamani approksimatsiyalamaydi:
Endi ko’p o’lchamli issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi uchun lokal-bir o’lchamli (LBC) ni yozamiz.
Kesma da qadam bilan to’r kiritamiz
Funksiyalar ixtiyoriy bo’lib, ular ushbu shartni qanoatlantirsin Ko’p o’lchamli tenglamani formal ravishda bir o’lchamli issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamalarining zanjiri ko’rinishida ifodalaymiz.
(5)
ushbu tenglamalarni quyidagi shartlar bilan qaraymiz.
(6)
bu yerda
Chegaraviy shartlar lar uchun, ma’lumki, butun chegara bo’yicha emas, balki uning bir qismi bo’lgan da qo’yiladi, ular o’qiga parallel bo’lgan barcha to’g’ri chizig’ining chegara bilan kesishgan nuqtalaridan tashkil topgan bo’ladi va to’g’ri chiziqlar ixtiyoriy ichki tugun orqali o’tgan bo’ladi. Tugunlar chegara da yotadi.
Agar, masalan parallelipeped bo’lsa, u holda uning qirralari va dan tashkil topgan bo’ladi.
Har bir nomerli issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini yarim intervalda ikki qatlamli vaznli sxema bilan approksimatsiyalasak, p ta bir o’lchamli sxemalar oilasiga ega bo’lamiz, ularni biz LBS lar deb ataymiz:
bu yerda -ixtiyoriy son. Kelgusida biz oshkormas LBS larni o’rganish bilan chegaralanamiz:
(7)
Ushbu tenglamalarga chegaraviy shartlar
(8)
va boshlang’ich shartni
(9)
qo’shish lozim.
O’ng tomon va chegaraviy shart ni va larning kesmadagi ixtiyoriy vaqt momentlari va da olingan qiymatlari orqali ifodalash mumkin, bunda deb olish mumkin.
Bu ayirmali sxemaning aniqlik tartibiga ta’sir qilmaydi. Aniqlik uchun ularni quyidagicha tanlaymiz.
To’r funksiyasi y ning j-qatlamdagi qiymati ma’lum bo’lsin. Tenglamalar (7)-(8) dan ning yangi qatlamdagi qiymatini topish uchun p ta tenglamalar (7) ni chegaraviy shartlar (8) bilan ketma-ket larda yechishimiz lozim. ni aniqlash uchun ushbu chegaraviy masalaga kelamiz.
(10)
bu yerda faqat o’zgaradigan quyi indekslar ko’rsatilgan. Ayirmali tenglamlar to’g’ri chiziqda yotuvchi kesmalar bo’ylab yoziladi, bu kesmaning oxiri chegaraga tegishli bo’ladi. Ayirmali tenglamalar (10) fiksirlangan uchun barcha kesmalar bo’ylab progonka metodi bilan yechiladi. Bunda to’r tugunlari soniga proporsional bo‘lgan arifmetik amallar bajariladi. Ketma-ket deb hisoblab va progonka metodi yo‘nalishini o‘zgartirib larni aniqlaymiz, bunda to‘r tugunlari soniga proporsional bo‘lgan arifmetik amallar talab etiladi. Shunday qilib, LBS (7)-( 9) tejamli bo‘lib hisoblanadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
