|
Ko‘p o‘lchovli ayirmali sxemalarni tadqiq qilish
Ko‘p o‘lchovli ayirmali sxemalarni nazariy jihatdan tadqiq etishda ularning approksimatsiya xatoligi, turg‘unligi va yaqinlashishi masalalari o‘rganiladi, bunda asosiy ayirmali tenglamalar sifatida lokal – bir o‘lchamli sxema (LBS) lar qaraladi.
LBS ning approksimatsiya xatoligi.
LBS ning approksimatsiya xatoligini o‘rganishga kirishamiz va shunga ishonch hosil qilamizki, har bir nomerli ayirmali tenglama (7) differensial tenglama (1) ni approksimatsiyalamaydi, ammo, barcha approksimatsiya xatoliklari yig‘indisi
nolga intiladi, agarda va sa.
Faraz qilaylik, –masala (1) ning differensial operator bilan yechimi bo‘lsin, esa, LBS (26)-(28) ning yechimi bo‘lsin. Bunda LBS ning aniqligi xarakteristikasi sifatida ushbu farq qaraladi. Oraliq qiymatlar ni, lar bilan taqqoslaymiz, bunda deb qaraymiz. So‘ngra ni (7) ga qo‘yib, approksimatsiya xatoligi uchun quyidagi masalani hosil qilamiz:
(11)
bu yerda
(12)
belgilash kiritamiz va ning yuqori indeksini soddalik uchun yozmaymiz
(13)
va ushbuni e’tiborga olgan holda
ni quyidagi ko‘rinishda ifodalaymiz:
bu yerda
Endi va ning aniqlanishini inobatga olsak
regulyar tugunlarda,
noregulyar tugunlarda.
Shunday qilib, regulyar tugunlarda bo‘ladi, ya’ni LBS yig’indili approksimatsiya ega bo’ladi, to’rning regulyar tugunlarida. Noregulyar tugunlarda esa bo’ladi.
b) LBS ning turg’unligi.
Ushbu bo’limda a) bo’limdagi formulalardan foydalanamiz va ulardagi nomerlarni davom ettiramiz. Bunda asosiy masala – LBS ning yig’indili approksimatsiyasidan, uning tezlik bilan tekis yaqinlashishi kelib chiqishini ko’rsatishdan iborat. Dastlab, LBS uchun maksimumlik prinsipini isbotlashimiz va ayirmali masala (7)-(9) ning yechimi uchun to’r funksiyalari fazosi C da dastlabki baholarni olishimiz zarur, ushbu baholar LBS ning boshlang’ich shart bo’yicha, o’ng tomon bo’yicha va chegaraviy shartlar bo’yicha turg’unligini ifodalaydi.
Ma’lumki umumiy ko’rinishdagi to’r tenglamalari yechimi uchun dastlabki baholar maksimumlik prinsipi orqali olingan edi. Bunda ushbu to’r tenglamasi qaralgan
(14)
bu yerda bog’liqli to’r ning tugunlari, nuqtani o’z ichiga olmaydigan, nuqtaning atrofi. Koeffitsiyentlar va quyidagi shartlarni qanoatlantirar edi
(15)
Maksimumlik prinsipi haqidagi teoremani biz qarayotgan LBS (7)-(9) ga nisbatan qo’llaymiz hamda ushbu teoremaning o’rinli ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
1-Teorema. Lokal-biro’lchamli sxema (7)-(9) C fazo metrikasi bo’yicha boshlang’ich shart bo’yicha, chegaraviy shart bo’yicha va o’ng tomon bo’yicha turg’un, hamda masala (7)-(9) ning yechimi uchun ixtiyoriy va larda quyidagi baho o’rinli
(16)
Teoremani isbotlash uchun, (7)-(9) masalaning yechimini
ko’rinishida ifodalaymiz, bu yerda birjinsli tenglamalar (7) ning, chegaraviy va boshlang’ich shartlar (8), (9) bilan yechimi, va esa birjinsli bo’lmagan tenglama (7) ning birjinsli chegaraviy va boshlang’ich shartlar bilan yechimi:
(17)
(18)
bu yerda va lar ushbu shartlardan aniqlanadi.
bunda
ya’ni faqat chegaraga yaqin tugunlarda noldan farqli bo’ladi.
Mavzuni bayon qilishni yengilashtirish maqsadida quyidagi to’rni kiritamiz
Ushbu to’r nafaqat to’rning tugunlarini, balki oraliq tugunlar tugunlar ham o’z ichiga oladi; orqali to’rning barcha bo’lgan tugunlari to’plamini belgilab olamiz.
Endi orqali, bu yerda o’lchamli to’rning tugunlarini, orqali to’rning chegarasini belgilaymiz, ular agar va agar va barcha tugunlardan tashkil topgan bo’ladi; esa tugunlar to’plami bo’lsin, bu yerda to’rning yo’nalish chegaraga yaqin tugunlar to’plami.
Endi yechimini tashkil etuvchi va larga mos masalalarni qaraymiz. To’r funksiyasi uchun tenglamani ning ham regulyar, ham noregulyar tugunlarda o’rinli bo’lgan ifodasi (4) dan foydalangan holda kanonik forma (14) ko’rinishda yozamiz:
(19)
bu yerda
bundan ko’rinadiki, shartlar (15) bajariladi va
Maksimumlik prinsipidagi taqqoslash teoremasiga asosan tenglama (19) ning yechimi uchun ushbu baho o’rinli bo’ladi.
Quyidagilarni e’tiborga olib
bu yerda
bu yerda
quyidagi tengsizlikka ega bo’lamiz
(20)
Endi to’r funksiyasi uchun masala (18) ga qaytamiz.
Ifoda (18) ni kanonik ko’rinish (14) shaklida yozamiz
ya’ni to’rning chegarasi S da bo’ladi:
agar
O’ng tomon faqatgina tugunlarda noldan farqli bo’ladi, bu yerda . Ushbu tugunlarda, birjinsli chegaraviy shartlar ga asosan, quyidagiga ega bo’lamiz
bu yerda
So’ngra maksimumlik prinsipidagi 4-teoremaga asosan quyidagi bahoga ega bo’lamiz.
(21)
Funksiya ni baholash uchun, n ta o’lchamli to’rning tuguni deb faraz qilamiz va tenglama (17) ni kanonik ko’rinish (14) shaklida yozamiz
bu yerda
Bu holda bo’ladi va maksimumlik prinsipidagi 3-teoremaga asosan quyidagi tengsizlikka ega bo’lamiz
(22)
Dastlab (41) ni lar bo’yicha yoyamiz:
so’ngra bo’yicha yig’amiz:
(23)
Indeks ixtiyoriy ekanligiga asosan (20), (21) va (23) dan ayirmali masala (7)-(9) ning yechimi uchun baho (16) kelib chiqadi hamda teorema isbotlandi.
c) LBS ning tekis yaqinlashishi. Ushbu teoremani isbotlaymiz.
2-Teorema. Masala (20) sohada yagona uzluksiz yechimi ega va sohada quyidagi uzluksiz hosilalar mavjud bo’lsin
Bu holda ayirmali sxema (26)-(28), tezlik bilan tekis yaqinlashadi (ya’ni bo’yicha birinchi tartibli va h bo’yicha ikkinchi tartibli aniqlikka ega bo’ladi) va
bo’ladi, bu yerda bo’lib, u va ga bog’liq emas.
Isbot. Dastlab belgilash kiritamiz va masala (11) ning yechimi ni quyidagi yig’indi ko’rinishida ifodalaymiz bu yerda ushbu shartlardan aniqlanadi.
(24)
bu yerda uchun ni inobatga olgan holda
Bunda funksiya ushbu shartlardan aniqlanadi.
(25)
bu yerda
Endi b) qismdagi 1-teoremadan foydalansak masala (25) ning yechimini baholaymiz. da bo’lganligi uchun, bu holda
(26)
Agar yopiq sohada uzluksiz hosilalar mavjud bo’lsa, u holda
barcha tugunlarda, chunki, tenglama (24) dan aniqlanadi, barcha soha bo’yicha. Boshqa tarafdan to’rning regulyar tugunlarida noregulyar tugunlarda bo’ladi, shu sababli
bo’ladi va baho (26) ushbuni beradi
chunki barcha lar uchun o’rinli.
Takidlash lozimki, chegaraviy shartlar bo’yicha va o’ng tomon bo’yicha turg’unlikdan, tugunlar va ni intervalda ixtiyoriy tanlash mumkinligi va bunda ayirmali sxemaning aniqlik tartibiga ta’sir etilmaydi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
