3. Funksional analiz va ehtimollar nazariyasining zamonaviy masalalari

3. Funksional analiz va ehtimollar nazariyasining zamonaviy masalalari.
HOSIL QILISH FUNKSIYASI VA UNING TARMOQLANUVCHI
JARAYONLAR NAZARIYASIDAGI BA’ZI TATBIQLARI
Azimov Jaxongir
F.-m.f.n, Toshkent davlat transport universiteti
Vohobjonov Javohir
O‘zbekiston Milliy universiteti, 1-bosqich magistri
Ma’lumki, manfiy bo’lmagan butun qiymatlarni qabul qiluvchi tasodifiy miqdorlarni tahlil qilishda hosil qiluvchi funksiyalar usuli muhim o‘rin tutadi.
1-ta’rif. Aytaylik manfiy bo’lmagan butun qiymatlarni qabul qiluvchi diskret tasodifiy miqdor bo`lsin. ning ehtimollik hosil qiluvchi funksiyasi deb

darajali qatorga aytiladi, bu yerda kompleks son.
Ehtimollik hosil qiluvchi funksiyalarining ba’zi xossalarini keltiramiz. Faraz qilaylik biror tasodifiy miqdorning ehtimollik hosil qiluvchi funksiyasi bo‘lsin.
1. hosil qiluvchi funksiyasi kompleks tekislikning birlik doirasining barcha nuqtasida aniqlangan va da analitik.
2. Har bir ehtimollik taqsimotiga bitta va faqat bitta hosil qilish funksiyasi mos keladi. Shu bilan birga da analitik bo'lgan, darajalari bo‘yicha qatorga yoyilmasidagi barcha koeffitsientlari manfiy bo'lmagan, shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy funksiyaga bitta va faqat bitta ehtimollik taqsimoti mos keladi va
3. Ixtiyoriy natural son k uchun

xususan, ,
4. Aytaylik, manfiy bo'lmagan butun qiymatli va tasodifiy miqdorlar bog'liqsiz,
lar bir xil taqsimlangan bo'lsin. U holda tasodifiy yig'indining hosil qiluvchi funksiyasi quyidagiga teng bo‘ladi:
Endi hosil qiluvchi funksiyaning qo‘llanilishiga misol ko’raylik.
Misol. Faraz qilaylik tasodifiy miqdor parametrli Puasson taqsimotiga ega bo’lsin. Ushbu tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi va dispersiyasi hisoblansin.
Yechish: Ma’lumki, ning ehtimollik hosil qiluvchi funksiyasi ga teng. Avval hosilalarni hisoblaymiz , .
Yuqorida keltirilgan 3-xossaga ko’ra, ,
bundan va
.
Demak parametrli Puasson taqsimotiga ega tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi va dispersiyasi ham ga teng ekan.
Endi hosil qiluvchi funksiyasining tarmoqlanuvchi tasodifiy jarayonlarni tadqiq etishdagi tatbiqlariga to’xtalib o’tamiz. Angilyalik olim Frensis Galton keng tarqalgan familiyalarni keyinchalik noyob yoki butunlay yo`qolib ketishiga etibor qaratadi va familiyani yo`qolishi ehtimolligi degan tushinchani olib uni o`rganishga kirishadi. Keyinchalik bu masala qandaydir ma`noda Vatson tomonidan o`z yechimini topadi.
Faraz qilaylik, nolinchi avlodda bitta vakil bo`lsin. Uning farzandlari birinchi avlodni, nabiralari ya`ni, farzandlarining farzandlari ikkinchi avlodni tashkil etadi va hokazo. Har bir avlodda ehtimolliklar o`zgarmaydi deb olamiz. , , ,… orqali nolinchi, birinchi, ikkinchi va hokazo avloddagi zarralar sonini belgilaymiz. ketma-ketlik diskret vaqtli tarmoqlanuvchi tasodifiy jarayonni tashkil etadi va bu jarayon Galton-Vatson jarayoni deb ataladi. Ushbu jarayonga to’liqroq ta’rif beramiz.
Faraz qilaylik bog‘liqsiz, bir xil taqsimlangan va manfiy
bo‘lmagan butun qiymatlarni qabul qiluvchi tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi
bo‘lsin.
2-ta’rif. Gal’ton-Vatson tarmoqlanuvchi jarayoni deb quyidagi
, ,
rekurrent munosabat bilan aniqlanuvchi tasodifiy jarayonga aytiladi.
Quyidagi hosil qiluvchi funksiyasini kiritamiz

u holda Galton-Vatson jarayoninig hosil qiluvchi funksiyasi uchun 2-ta’rifga va 4-xossaga ko’ra

tenglik o’rinli bo’ladi. Agar , belgilashlarni kiritsak, Galton-Vatson jarayoninig matematik kutilmasi va dispersiyasini topishimiz mumkin:
,

Ma’ruzada, tarmoqlanuvchi jarayonlarning yana bir modeli Foster-Peykes jarayonlarining n-avloddagi zarralar soni taqsimot qonunini, sonli xarakteristikalarini o’rganishda hosil qiluvchi funksiyalar usulidan foydalanish haqida mulahazalar yuritiladi.


Adabiyotlar.

1. 
   Севастьянов Б. А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971, 436 с.
   
2. 
   Харрис Т. Е.Теория ветвящихся случайных процессов. М.: Мир, 1966.355 с.
   
3. 
   Shiryayev A.N. Probability for Graduate Texts in Mathematics. Springer, 1995, 624 p.