3- тема. Биринши тәртипли дифференциаллық теңлемелер. Өзгериўшилери ажыралған ҳәм ажыралатуғын теңлемелер

3- тема. Биринши тәртипли дифференциаллық теңлемелер.
Өзгериўшилери ажыралған ҳәм ажыралатуғын теңлемелер

Тәбият қубылысларын үйрениўде, көп әмелий мәселелерди шешиўде, бир қатар теориялық мәселелерди изертлеўде дифференциаллық теңлемелер үлкен роль ойнайды.
Дифференциаллық теңлеме деп ғәрезсиз өзгериўшилерди, белгисиз функцияны ҳәм оның белгили тәртипке шекемги туўындыларын ямаса усы өзгериўшилердиң дифференциалларын байланыстыратуғын бирдейлик болмаған қатнасқа айтылады. Егер белгисиз функция тек бир ғәрезсиз өзгериўшиге байланыслы болса, онда теңлеме әпиўайы (әдеттеги) дифференциаллық теңлеме деп, ал белгисиз функция бир неше өзгериўшилерден ғәрезли болса, онда теңлеме дара туўындылы дифференциаллық теңлеме деп аталады. Бул курста тийкарынан әпиўайы дифференциаллық теңлемелер қарастырылады.
Теңлемеде қатнасқан ең үлкен туўындының тәртиби теңлемениң тәртиби делинеди.
Биринши тәртипли әпиўайы дифференциаллық теңлемениң улыўма түри
_{ } (1)
бунда _{ }-ғәрезсиз өзгериўши, _{ }-белгисиз функция, _{ }-туўынды, _{ }өзиниң аргументлериниң базы-бир G областта берилген функциясы.
(1)-теңлеме туўындыға қарата шешилмеген биринши тәртипли дифференциаллық теңлеме деп те аталады .
Егер (1)- теңлемени _{ } туўындыға қарата шешиў мүмкин болса , онда оны
_{ } (2)
нормаль түринде жазыўға болады, бунда _{ }бул _{ } тегислигиниң базы-бир D областында анықланған үзликсиз, берилген функция.
(2)-теңлеме туўындыға қарата шешилген биринши тәртипли дифференциаллық теңлеме деп аталады. Дифференциаллық теңлемелер теориясында ҳәм оның қолланыўларында буған қарағанда улыўмалырақ болған
_{ } (3)
теңлемеси де қарастырылады, бундағы _{ } ҳәм _{ } функциялары базы-бир областта үзликсиз функциялар. (3)-теңлеме биринши тәртипли дифференциаллық теңлемелердиң дифференциаллық формасы деп аталады.
Гейпара жағдайларда туўындыға қарата шешилген теңлеме симметриялы түрдеги теңлеме деп аталатуғын

түрде де жазылады.
АНЫҚЛАМА. (1) ямаса (2) дифференциаллық теңлемениң _{ } интервалындағы шешими деп, усы аралықта анықланған, үзликсиз дифференциалланатуғын, теңлемеге қойғанда оны барлық _{ } ушын бирдейликке айландыратуғын ҳәр қандай _{ } функциясына айтылады. Егер _{ } функциясы (1) ямаса (2) теңлемениң шешими болса, яғный
_{ }ямаса
бирдейлиги орынланса, онда ол усы теңлемени қанаатландырады депте айтады.
Дифференциаллық теңлемениң ҳәр бир _{ } шешимине сәйкес келиўши иймек сызық(яғный _{ } функциясының графиги) усы теңлемениң интеграллық иймек сызығы (ямаса интеграллық сызығы) делинеди.
(2) дифференциаллық теңлемениң анықланыў областындағы ҳәр бир _{ } точка арқалы абциссалар көшерине қыяланыў мүйешиниң тангенси _{ }қа тең болған туўры жүргиземиз. Бул туўрылар топары (2) теңлемеге сәйкес келиўши бағытлар майданы (ямаса _{ } функциясының бағытлар майданы) деп аталады.
(2) дифференциаллық теңлемениң интеграллық иймек сызығы ҳәр бир точкасында _{ } функциясының бағытлар майданына урынады, яғный интеграллық иймек сызықтың ҳәр бир точкасындағы урынбаның бағыты усы точкадағы урынбаның (2) теңлеме менен анықланған майданының бағыты менен үстпе-үст түседи. ѳзиниң ҳәр бир точкасында усы точкадағы майданның бағытына урынатуғын ҳәр қандай иймек сызық интеграллық иймек сызық болады.
ҳәр бир точкасында майданның бағыты бирдей болатуғын иймек сызық изоклина деп аталады. (2) дифференциаллық теңлемениң изоклиналарының теңлемелери

түрине ийе, бунда _{ } (2) теңлемениң интеграллық иймек сызығына _{ } точкада жүргизилген урынбасының _{ } көшериниң оң бағыты менен жасаған мүйеши. Берилген изоклинаны кесип өтиўши барлық интеграллық иймек сызықлар кесилисиў точкаларында абциссалар көшерине бирдей мүйеш пенен қыяланған болады. Изоклиналар жәрдеминде (2) дифференциаллық теңлемениң интеграллық иймек сызығын жуўық түрде жасаў мүмкин. Изоклиналар усылын қолланыў мысалларын [o, қосымша] китаптан үйрениўге болады.
Әпиўайы мысаллар дифференциаллық теңлемениң шешимлердиң шексиз көплигине ийе болатуғынын көрсетеди.
Дифференциаллық теңлемелер теориясының әҳмийетли мәселелериниң бири Коши мәселеси болып табылады. (2) теңлеме ушын Коши мәселеси төмендегише қойылады` (2) теңлемениң барлық шешимлери ишинен аргументтиң берилген _{ } мәнисинде берилген
_{ } (4)
мәнисти қабыл ететуғын шешимди табыў талап етиледи. Бундағы _{ } ҳәм _{ } санлары басланғыш мәнислер деп, ал (ң) шәрт басланғыш шәрт деп аталады.
Теңлемениң оң жағы болған _{ } функциясы анықланған D областының Коши мәселеси бирден-бир шешимге ийе болатуғын _{ } точкаларынан дүзилген бөлегин _{ } деп белгилейик.
АНЫҚЛАМА. (2) дифференциаллық теңлеме ҳәм _{ }, _{ } өзгериўшилериниң базыбир өзгериў областында анықланған, _{ } бойынша үзликсиз дифференциалланатуғын
_{ } (5)
функция берилген болсын.
Егер қәлеген _{ }точка ушын (ө) қатнасы
C-ның _{ } мәнисин бир мәнисли анықласа ҳәм бул мәнисти

теңликке қойыў нәтийжесинде (2) теңлеме пайда болса, онда (5) функция (2) теңлемениң _{ } көпликте анықланған улыўма шешими деп аталады.
Бул (5) функция ерикли турақлы _{ }-ға байланыслы ҳәм демек , (5)- қатнасын сызықлар топарының теңлемеси деп қараўға болады.
(2) дифференциаллық теңлемениң (5) улыўма шешиминен ерикли турақлы _{ } ның белгили мәнисинде алынатуғын шешим усы теңлемениң дара шешими делинеди.
Егер
_{ } (6)
теңлиги _{ } көпликте _{ } улыўма шешимди анық емес функция ретинде анықласа, онда (6)-қатнасын (2)-дифференциаллық теңлемениң улыўма интегралы деп атайды.
Ал (6) улыўма интегралдан ерикли турақлы С-ның белгили мәнисинде алынатуғын _{ }қатнасы дара интеграл делинеди.
Гейде теңлемениң улыўма шешимин (5) түринде де ямаса (6) түринде де алыў мүмкин болмай, ал _{ } ҳәм _{ } ти (2) теңлемеден базы-бир _{ } параметриниң үзликсиз дифференциалланыўшы функциясы ретинде, яғный
_{ } (i)
түринде табыў мүмкин, бунда -ерикли турақлы. Бул (i) қатнаслары (2) теңлемениң _{ } интервалындағы параметрлик формадағы улыўма шешими деп аталады.
Туўындыға қарата шешилмеген (1) дифференциаллық теңлеме ушын да улыўма шешим, улыўма интеграл, параметрлик формадағы улыўма шешим, дара шешим түсиниклери жоқарыдағыдай болып анықланады.
Дифференциаллық теңлемелер теориясында (1) ямаса (2) теңлемениң барлық шешимлерин табыў тийкарғы мәселе болып есапланады. Барлық шешимлерди табыў дифференциаллық теңлемени интеграллаў (шешиў) деп аталады.
Егер (1) теңлемениң шешимин элементар функциялар ямаса олардың интеграллары жәрдеминде жазыў мүмкин болса, онда дифференциаллық теңлеме квадратураларда интегралланады делинеди.
Дифференциаллық теңлемелерге механиканың, физиканың, астрономияның ҳәм басқа да тәбияттаныў илимлериниң ҳәм сондай-ақ техниканың көп мәселелери алып келинеди. Дифференциаллық теңлемелерге алып келинетуғын базыбир мәселелерди қараймыз.
1-мысал. Мейли _{ }бул _{ } интервалда узликсиз функция, ал _{ } оның дәслепки функциясы болсын. Сонда
_{ }f_{ }
болып, дәслепки функцияны табыў ушын биз биринши тәртипли әпиўайы дифференциаллық теңлемени алдық. Оның шешимлери белгили

бунда _{ } - ерикли турақлы.
2-мысал. Массасы _{ } болған дене _{ } басланғыш тезлик пенен базыбир бийикликтен таслап жиберилген. Егер орталықтың (ҳаўаның) қарсылығы тезликке пропорционал болса, онда усы денениң түсиў тезлигиниң өзгериў нызамын анықлаң.
Шешилиўи. Ньютонның екинши нызамына муўапық_{   }, яғный,
_{ },
бунда _{ } - денеге тәсир етиўши күшлердиң қосындысы (тең тәсир етиўшиси), _{ }денениң _{ } ўақыт моментиндеги тезлиги.
Мәселениң шәрти бойынша денеге еки қарама-қарсы бағытланған күшлер тәсир етеди` ҳаўаның қарсылық күши ҳәм жердиң тартыў күши . Солай етип, .
Демек,

түриндеги дифференциаллық теңлемеге келемиз. Бул теңлемениң шешими

функциясы болатуғын көрсетиў қыйын емес. Дене өз қозғалысын шәрт бойынша нольлик тезлик пенен баслайтуғын болғанлықтан, яғный болғанлықтан болады. Солай етип денениң қәлеген ўақыт моментиндеги тезлиги

функциясы менен бир мәнисли анықланады.
ҳаўаның қарсылығын есапға алмаған жағдайда, яғный дене еркин түскенде тезликтиң шамасы сызықлы түрде өседи` .
ҳаўаның қарсылығын есапқа алған жағдайда да тезлик өседи, бирақта соған қарамастан ол ўақыттың өтиўи менен турақлы шамаға умтылады ҳәм дене тең өлшеўли түрде төмен түседи.
3-мысал. Радиоактивлик ыдыраў тезлиги заттың муғдарына пропорционал екенлиги тәжирийбеден белгили. Радиоактивли заттың ярым ыдыраў периодын (заттың ярымы ыдырап болатуғын ўақытты) табың.
Шешилиўи. Мейли - радиоактивли заттың ўақыт моментиндеги муғдары болсын, . Мәселе шәртинде айтылған тәжирийбели факт

екенин аңлатады, бунда -пропорционаллық коэффициенти, ал-белгиси заттың массасының кемийтуғынлығын аңлатады. Солай етип, биз дифференциаллық теңлеме алдық, оның шешими функциясы болады. Ал болғанлықтан болып, заттың муғдарының ўақыт бойынша өзгериў нызамы

түрине ийе болады. Заттың ярымы ыдыраўына кететуғын ўақыт шамасын (ярым ыдыраў периодын)

теңлемесинен анықлаймыз. Сонда болады. Бул ўақыт заттың басланғыш массасына ғәрезли болмайды.
4-мысал. Көбейиў ушын қолайлы шәриятларда турған бактериялардың көбейиў тезлиги олардың муғдарына пропорционал екени тәжирийбеден белгили. №андай ўақыт ишинде бактериялар олардың дәслепки санына салыстырғанда есе көбейеди?
Шешилиўи. Егер -бактериялардың ўақыт моментиндеги саны болып, болса, онда олардың санының ўақыт өтиўи менен өзгериўи биологиялық тәжирийбеге муўапық, дифференциаллық теңлемеси менен суўретленеди. Бул теңлемениң шешими шәртти есапқа алғанда

функциясы болады. Бактериялардың саны есе көбейетуғын ўақытты теңлемесинен анықлаймыз. Сонда болады. Ал коэффициенти бактериялардың түринен ҳәм олар жасап атырған шәриятлардан ғәрезли болады. Оны тәжрийбе жолы менен анықлаў мүмкин.

. %згери7шилери ажырал2ан тенлеме. Мейли (q.w) ямаса (q.e) те4лемеси базы бир усыл менен

(q)
т6рине алып келинсин, бунда -тек x 5згери7шисини4, ал -тек у 5згери7шисини4 функциясы болсын. Бул функцияларды 6зликсиз функциялар деп уй2арайы3.
Егер у=(х) функциясын (q) те4лемесини4 шешими деп есапласа3 81м оны усы те4лемеге 3ойса3, онда бирдейлигине ийе боламыз.Бул бирдейликти4 еки жа2ы дифференциаллар болып,оларды4 бириншиси тиккелей 21резсиз 5згери7ши ар3алы,ал екиншиси оны4 функциясы ар3алы а4латыл2ан.
Егер дифференциаллар бир-бири менен те4 болса,онда олардан алын2ан аны3 емес интеграллар бир-биринен тек ерикли 3осылы7шы2а 2ана айрылады. Сол себепли бирдейликти4 еки жа2ын интеграллап,
ямаса (w)
3атнасына ийе боламыз, бунда C-ерикли тура3лы.
Бул алын2ан (w) 3атнасы (q) те4лемесини4 улы7ма интегралын береди, ал егерде оны у ке 3арата шеши7 м6мкин болса, онда усы те4лемени4 улы7ма шешимин алы72а болады.
(q.w) ямаса (q.e) те4лемесин (q) т6рине келтири7 5згери7шилерди ажыраты7 деп, ал (q) т6риндеги те4леме 5згери7шилери ажырал2ан те4леме деп аталады. %згери7шилерди ажыраты7 усылын биринши рет Швейцариялы математик И.Бернулли (qyyu-quri) 3оллан2ан.
.%згери7шилери ажыралату2ын те4лемелер. Егер (q.e) те4лемеде М(x,y) 81м N(x,y) функцияларын _{ } т6ринде к5рсети7 м6мкин болса, онда бул
(e)
те4лемеси 5згери7шилери ажыралату2ын те4леме деп аталады. Бул те4лемени4 еки жа2ын да деп есаплап, а4латпасына к5бейти7 ар3алы оны4 5згери7шилерин а4сат ажыраты72а болады. Сонда

те4лемесин аламыз. Бул 5згери7шилери ажырал2ан те4леме.

Оны
d

т6ринде жазы72а болады, буннан
(r)
3атнасы келип шы2ады, бунда C-ерикли тура3лы.(r) Шекли те4леме (e) те4лемени4 улы7ма интегралы болады.
Ескерти7. (w.r) те4лемесини4 еки жа2ын да к5беймесине б5лгенде биз усы те4лемени4 базыбир шешимлерин, атап айт3анда 81м болату2ын шешимлерин жо2алты7ымыз м6мкин.
q-мысал. те4лемесин шеши4.
Шешили7и` Берилген те4лемени

т6ринде жазамыз. Бул те4лемени4 еки жа2ында к5беймесине б5лип, 5згери7шилери ажырал2ан те4лемени аламыз`

Ал бул те4лемени интеграллап, т5мендегилерди табамыз`




Буннан , бунда -ерикли тура3лы. Бул 3атнас берилген те4лемени4 улы7ма интегралын береди.