3- мавзу: Икки нуқтали чегаравий масала ечими формуласи 1

3- мавзу: Икки нуқтали чегаравий масала ечими формуласи
1. Қуйидаги икки нуқтали чегаравий масалани қарайлик:
, , (1.10)
, . (1.11)
Бу масала ечимини топишда қуйидаги теорема асосий роль ўйнайди.
Гильберт теоремаси. Агар масаланинг Грин функцияси маълум ва бўлса, бу масаланинг ечими
(1.12)
формула билан ёзилади, аксинча агар функция масаланинг ечими бўлса, уни (1.12) кўринишда ифодалаш мумкин.
Исбот. Ҳақиқатдан ҳам, (1.12) формула билан аниқланган функция чегаравий шартларни қаноатлантиради, чунки Грин функциясининг таърифига кўра бўлгани учун
, .
Энди (1.12) формула билан аниқланган функция (1.10) тенгламанинг ечими эканини кўрсатамиз. Бунинг учун аввал (1.12) ни қуйидагича ёзиб оламиз:

Бундан , ҳосилаларни ҳисоблаймиз:


;

.
, , ларнинг қийматини (1.10) га қўямиз. Унда



.
Интеграл остидаги ифодалар нолга тенглигини эътиборга олсак, охиргидан (1.10) тенглик келиб чиқади. Теореманинг биринчи қисми исботланди.
Энди теореманинг иккинчи қисмини исботлаймиз, яъни масаланинг ечими мавжуд бўлса, уни (1.12) формула билан ёзилишини исботлайлик. қўйилган масаланинг ечими бўлсин. Бу масаланинг Грин функциясини билан белгилайлик. (1.10) тенгламани га,
,
тенгламани га кўпайтириб, биринчисидан иккинчисини айирамиз:
,
ёки
, .
Бу тенгликнинг ҳар иккала томонини оралиқда интеграллаймиз:

.
Бундан, функция бўлганда биринчи тур узилишга эга ва , функциялар (1.11) чегаравий шартларни қаноатлантиришини эътиборга олиб,


ёки

тенгликка эга бўламиз.
Бу ерда ни билан алмаштирсак,

ҳосил бўлади.
Қўйилган масаланинг Грин функцияси ўз аргументларига нисбатан симметрик, яъни тенглик ўринли эканлигини эътиборга олсак, охирги муносабатдан (1.12) келиб чиқади.
Гильберт теоремаси тўлиғича исботланди.
2. Энди икки нуқтали чегаравий масала учун оддий Грин функциясининг ягоналигини исботлаш мумкин. Ҳақиқатдан ҳам, масаланинг иккита ва оддий Грин функциялари мавжуд деб фараз қилсак, (1.12) формулага асосан, қўйилган масаланинг бу Грин функцияларига мос ечимларини қуйидагича ёзиш мумкин:
,
.
Буларнинг айирмасидан иборат бўлган ушбу

функция бир жинсли тенгламани ва (1.11) чегаравий шартларни қаноатлантиради. Маълумки бундай функция айнан нолга тенг, яъни
, .
Бу айният ихтиёрий функция учун бажарилганлиги учун, ундан , яъни эканлиги келиб чиқади. Демак, масаланинг оддий Грин функцияси ягона.

Грин функциясини тузишга доир мисоллар
Қуйида оддий Грин функциясини тузишга доир мисоллар кўрамиз.
1. Қўйидаги
, ,
чегаравий масаланинг Грин функциясини топайлик.
Ечиш. Энг аввал тенгламанинг шартни қаноатлантирувчи ечимини топамиз. Сўнгра шу бир жинсли тенгламанинг шартни қаноатлантирувчи ечимини топамиз. Грин функциясини қуйидаги кўринишда излаймиз:

Грин функцияси нуқтада узлуксиз бўлгани учун

муносабатга, ҳосиласи эса да узилишга эга бўлгани учун, эканлигини ҳисобга олсак,

муносабатга эга бўламиз. Бу икки алгебраик тенгламалар системасидан , тенгликлар келиб чиқади. Демак, қўйилган масаланинг Грин функцияси

формула билан ифодаланади.
2. Ушбу дифференциал ифоданинг чегаравий шартларни қаноатлантирадиган Грин функциясини тузинг.
Ечиш. Грин функциясини

кўринишда излаймиз.
нуқтада функция узлуксиз, лекин унинг биринчи тартибли ҳосиласи узилишга эга бўлгани учун

алгебраик тенгламалар системасини ҳосил қиламиз. Бу системани ечиб , ларни топамиз. Демак, изланаётган Грин функцияси қуйидагича ёзилади:

3. Ушбу дифференциал ифоданинг , чегаравий шартларни қаноатлантирадиган Грин функцияни тузинг.
Ечиш: Грин функциясининг қуйидаги

кўринишда излаймиз. Грин функциясининг таърифи бўйича

системага ва , га эгамиз.
Демак, изланаётган Грин функцияси қуйидагича ёзилади:

4. Ушбу дифференциал ифоданинг чегаравий шартларни қаноатлантирадиган Грин функциясини қуйидаги

кўринишда излаймиз. ва ларни топиш учун ушбу

системага эгамиз. Бу системадан ва ни топамиз. Демак, Грин функцияси қуйидагича ёзилади: