27. Differensial tenglamalar sistemalari. Differensial tenglamalar sistemasini normal ko’rinishga keltirish

Misol. sistemasini Eyler usili yordamida yeching.
Yechilishi. Eyler metodiga muvofiq , yechimni ko’rinishida izlaymiz. Endi
yoki
xarakteristik tenglamani tuzamiz. Uning ildizlari . Bu ildiziga mos keluvchi yagona yechimni aniqlaymiz . Buni sistemaga o’rinlarig olib borib qo’ysak va ga qisqartirib , soddalashtirsak , tengligiga ega bo’lamiz. ni erkli turda deb olsak, unda . U holda yagona yechim turiga ega bo’ladi . Endi ildizlariga mos keluvchi yagona yechimni aniqlaymiz. Buni ham sistemag o’rinlariga olib borib qo’ysak , soddalashtirsak, bo’lib, bundan desak, u holda bo’lib , yagona yechimning ko’rinishi b’ladi. Demak, berilgan sistemaning umumiy yechimi bo’ladi.

32. O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli chiziqli sistema.
Eyler usuli. Хarakteristik tenglamaning ildizlari kompleks
Agar
(1)
sistemasiда barcha koeffitsientlar o’zgarmas bo’lsa, bir jinsli chiziqli sistemasi o’zgarmas koeffitsientli deb ataladi.
O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli sistemalar har doim elementar funksiyalardan iborat fundamental yechimlar sistemasiga ega bo’ladi.
Fundamental yechimlar sistemasi bo’yicha yechimlar sistemasini tuzishning asosiy usuli Eyler usuli bo’lib hisoblanadi. Eyler usuliga muvofiq (1) sistemaning yechimi
(2)
ko’rinishda izlanadi, bu yerda va qiymatlari aniqlanishi kerak bo’lgan ayrim o’zgarmas sonlar. Bu noma’lumlarni aniqlash uchun (2) ni (1) dagi o’rinlariga olib borib qo’yamiz va ga qisqartirib,
(3)
ko’rinishdagi noma’lumlarga nisbatan bir jinsli algebrik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Bu sistema nollik emas yechimga ega bo’lishi uchun soni
(4)
tenglamaning ildizi bo’lishi kerak. Bu (4) tenglama (1) sistemaning xarakteristik tenglamasi, uning ildizlari ushbу sistemaning xarakteristik sonlari deb ataladi.
(4) xarakteristik tenglamaning ildizlari kompleks bo’lgan holat. Bu holatda haqiqiy va har xil ildizlar ga mos keluvchi yechimlar yuqoridagi ko’rinishda topiladi. Endi kompleks ildizga mos keluvchi yagona yechimlarni topish yo’lini ko’rsatamiz.
Kompleks ildizlar har doim qo’shmasi bilan uchrashadi. Demak bir kompleks ildizi bo’lsa, u holda ham ildizi bo’ladi. ga mos keluvchi yechimni (2) dan foydalanib topsak ,

ko’rinishidagi yagona yechimlar sistemasiga ega bo’lamiz dara. ildizga mos keluvchi хусусий yechimlar sistemasi ushbu yechimlar sistemasi bilan chiziqli bog’liq bo’ladi, shu sababli bu yechimlarni tashlab ketamiz. Endi qolgan ildizlar orasida kompleks ildizlar bor bo’lsa, u holda ularga mos keluvchi хусусий yechimlar sistemasini shu yo’l bilan hisoblab, (1) sistemaning fundamental yechimlar sistemasiga ega bo’lamiz .