27. Differensial tenglamalar sistemalari. Differensial tenglamalar sistemasini normal ko’rinishga keltirish

Teorema. Bir jinsli (1) sistemaning ayrim yechimlarning

sistemasi fundamental sistema bo’lsa, unda bu sistemaning umumiy yechimi

ko'rinishga ega bo’ladi, bu yerda –erkli o’zgarmaslar.
Теорема. Agar bir jinsli emas


(2)

sistemaning хусусий yechimlari, hamda – (1) bir jinsli sistemaning yechimlarining fundamental sistemasi bo’lsa, unda bir jinsli emas (2) sistemaning umumiy yechimi

Ko’rinishga ega bo’ladi, bu yerda – erkli o’zgarmaslar.


30. Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistema. Yechimning xossalari
Bir jinsli
(1)
sistemani qaraylik, bu yerda лар intervalda uzluksiz koeffitsientlar.
Quyida ushbu sistemaning sondagi хусусий yechimga ega bo’lishini ko’rsatamiz. Dastlab (1) sistemaning quyidagi xossalarini ko’rsatamiz.
Yechimning xossalari.
1. Agar

(1) sistemaning хусусий yechimlari bo’lsa, unda

(1) sistemaning yechimi bo’ladi.
2. Agar sondagi

хусусий yechim aniq bo’lsa, unda ularning erkli o’zgarmas koeffitsientlaridan hosil bo’lgan

chiziqli kombinatsiyasi ham yechim bo’ladi.
tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama uchun o’rinli bo’lganidek (1) sistemaning haqiqiy yechimini tuzish paytida ayrim vaqtlari kompleks yechimlar ham foydalaniladi.

bu yerda lar ning intervaldagi uzluksiz haqiqiy funksiyalari, (1) sistemaning kompleks yechimi bo’lsa , bu holдa bu yechimning haqiqiy va мавхум bo’laklarining har biri (1) sistemaning yechimi bo’ladi


31. O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli chiziqli sistema.
Eyler usuli. Хarakteristik tenglamaning ildizlari ҳақиқий va har xil
Agar
(1)
sistemasiда barcha koeffitsientlar o’zgarmas bo’lsa, bir jinsli chiziqli sistemasi o’zgarmas koeffitsientli deb ataladi.
O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli sistemalar har doim elementar funksiyalardan iborat fundamental yechimlar sistemasiga ega bo’ladi.
Fundamental yechimlar sistemasi bo’yicha yechimlar sistemasini tuzishning asosiy usuli Eyler usuli bo’lib hisoblanadi. Eyler usuliga muvofiq (1) sistemaning yechimi
(2)
ko’rinishda izlanadi, bu yerda va qiymatlari aniqlanishi kerak bo’lgan ayrim o’zgarmas sonlar.
Bu noma’lumlarni aniqlash uchun (2) ni (1) dagi o’rinlariga olib borib qo’yamiz va ga qisqartirib,
(3)
ko’rinishdagi noma’lumlarga nisbatan bir jinsli algebrik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Bu sistema nollik emas yechimga ega bo’lishi uchun soni
(4)
tenglamaning ildizi bo’lishi kerak. Bu (4) tenglama (1) sistemaning xarakteristik tenglamasi, uning ildizlari ushbу sistemaning xarakteristik sonlari deb ataladi.
(4) xarakteristik tenglamaning ildizlari ҳақиқий va ular har xil. Bu holatda har bir ildizlari uchun (3) dan

sistemasiga ega bo’lib, bundan ko’rinishdagi nollik emes yechimga ega bo’lamiz . va nung bu qiymatlarini (2) dagi o’rinlariga qo’yib, ga mos keluvchi (1) sistemaning

ko’rinishdagi yagona yechimga ega bo’lamiz . Demak larning har biri uchun olingan xuddi shunday yagona yechimlarning yig’indisi

(1) sistemasining yechimlarining fundamental sistemasi b’ladi. Bu fundamental yechimlar sistemasi orqali berilgan (1) tenglamalar sistemasining

ko’rinishidagi umumiy yechimini olamiz.