22-mavzu. Matematik statistika elementlari Matematik statistikaning asosiy tushunchalari

Bosh va tanlanma o’rtalar
Faraz qilaylik, hajmi ga teng bo’lgan bosh to’plamni o’rganish talab qilingan bo’lsin.
1-Ta’rif. Bosh to’plam belgisining o’rta arifmetik qiymatiga bosh o’rta deyiladi.
Agar bosh to’plam elementlari belgisi – har xil bo’lsa,

Agar belgining qiymatlari mos ravishda chastotalarga ega, shu bilan birga bo’lsa, u holda
.
Faraz qilaylik, bosh to’plamni o’rganish uchun hajmi ga teng bo’lgan tanlanma to’plam ajratilgan bo’lsin.
2-Ta’rif. Tanlanma to’plam belgisining o’rta arifmetik qiymatiga tanlanma o’rta deyiladi.
,
agar tanlanmani belgisining elementlari har xil bo’lsa, u holda
.
Tanlanma o’rta bosh to’plamni o’rta qiymati matematik kutishni qo’zg’almagan bahosi bo’ladi, ya’ni
.
Bosh va tanlanma dispersiyalar
Faraz qilaylik, biror to’plam va uning statistik taqsimoti berilgan bo’lsin:

bunda
Bundan so’ng yozishni qulaylashtirish maqsadida yig’indi belgisi ni belgi bilan almashtiramiz.
O’rta qiymatni topamiz:

Bundan
. (1)
o’zgarmas kattalik bo’lgani uchun
. (2)
1-Ta’rif. variantalar va ularning o’rta qiymati o’rtasidagi ayirmaga chetlanish deyiladi

Teorema. Chetlanishni o’rta qiymati nolga teng:

Xaqiqatdan ham, (1) va (2) ni hisobga olsak,
.
Misol. Tasodifiy miqdor taqsimoti bilan berilgan:

Chetlanishning o’rta qiymatini toping.
Yechish. O’rtacha qiymatni topamiz:
.

Demak, .
Bizni qiziqtirayotgan narsa o’rtacha chetlanishdan iborat, lekin o’rtacha chetlanish nolga teng chiqayapti, aslida unday emas. Shuni tushunish uchun dispersiya tushunchasini kiritamiz.
2-Ta’rif. Bosh to’plam elementlari belgisining chetlanishlari kvadratidan olingan o’rta arifmetik qiymatga bosh dispersiya deyiladi va quyidagi formula bilan ifodalaniladi:

bu yerda .
Agar variantalar har xil bo’lsa, u holda
.
3-Ta’rif. Tanlanma to’plam elementlari belgisining chetlanishlari kvadratidan olingan o’rta arifmetik qiymatga tanlanma dispersiya deyiladi.
(3)
Agar lar har xil bo’lsa, u holda
.
(3)formulani ko’rinishini o’zgartiramiz:

Demak,


, (4)
bu yerda .
(4) formulaga dispersiyani hisoblash formulasi deyiladi.