22 Mavzu: Elektropotensial gradienti, Pausson, Laplas tenglamalari. Reja

3.4 Pausson va Laplas tenglamalari. 
Maydon kuchlari ta’sirida jismlarda erkin xarakatlanuvchi zaryadlar erkin zaryadlar 
deyiladi. 
Jismlarni tuzilishiga kiruvchi , ichki molekula kuchlari tamonidan belgilangan 
xolatda tutib turiluvchi elektr zaryadlar bog‘langan zaryadlar deyiladi. Bu 
zaryadlar jismdan ajralmas , musbat bog‘langan zaryadlar soni va manfiy 
bog‘langan zaryadlar soni o‘z-aro teng. Agar biror dielektrikni elektr maydoniga 
kiritsak u qutblanadi. 
Kutblanish bu – elektr maydoni ta’sirida bog‘langan zaryadlarni tartibli o‘zgarishi 
tushiniladi ya’ni manfiy ishoraga ega bo‘lgan zaryadlar potensiali Yuqori bo‘lgan 
tamonga, musbat ishoraga ega bo‘lgan bog‘langan zaryadlar potensiali kam 
bo‘lgan tamonga joylajadi. 
Ikkita o‘z-aro qarama-qarshi ishoraga ega bo‘lgan zaryadlarni ular orasidagi 
L masofaga ko‘paytmasi elektr momentini beradi.Bu vektor kattalik bo‘lib 
manfiy ishorali –q zaryaddan musbat ishorali +q zaryad tamon yo‘nalgan. 
 

 
Kutblangan jismlarmolekulalari elektr nuqtai- nazardan dipolni ifodalaydi, 
tashqi elektr maydon ta’sirida dipollar shunday joylashadiki ularni yo‘nalishi 
elektr maydon kuchlanganligi E vektori yo‘nalishiga parallel ravishda 
joylashishga xarakat qiladi. Jismni birlik xajmidagi dipollar yig‘indisi elektr 
momenti qutblanish vektori deb yuritiladi R bilan belgilanadi.CHeksiz kichik 
xajmda mavjud bo‘lgan elektr momentini quyidagicha yozish mumkin.
 
R= lim
v-0 
Σql/ V

 
 
Asosiy ko‘p dielektriklar uchun R qutblanish vektori E elektr maydon 
kuchlanganligiga to‘g‘ri proporsional, ular orasidagi proporsionallik koeffitsenti
ϰ=χε
0
(χ elektr qabul kiluvchanlik) 
R= ϰ E 

---

Dielektriklardagi qutblanishni ikki qismga ajratish mumkin: 
- Dielektrikda tashqi elektr maydon mavjud bo‘lmagan xolatda musbat va manfiy 
zaryadlar tortish markazi mos keladi. 
Tashqi maydon ta’sirida musbat zaryadlar ta’sir markazi tashqi maydon yo‘nalishi 
bo‘yicha o‘zgaradi, manfiy zaryadlar ta’sir markazi maydonga qarama-qarshi, 
natijada molekula dipol ko‘rinishga keladi. 
Bu molekula zaryadlarini joylashishi tashqi maydon kuchlanganligiga proporsional . 
zaryadlar tortish markazi mos kelmaydi, ularni elektr momenti tashqi maydon 
yo‘nalishi bilan bir xil.
Elektr induksiya vektori 
⃗⃗⃗
. 
⃗⃗
va 
⃗⃗
vektoridan tashqari elektr induksiya vektori
yoki elektr siljish vektori 
⃗⃗⃗
qo‘llaniladi.
⃗⃗⃗
vektorini ikki vektor yig‘indisi tashkil 
qiladi:
⃗⃗⃗
= ε
0
⃗⃗
+ 
⃗⃗
Gauss teoremasini integral shakli, bu teoremani 3-xil ko‘rinishda yozishimiz 
mumkin. 
1.Yopiq sirt bo‘yicha o‘tayotgan elektr siljish vektori mana shu Yopiq sirt ichida 
mavjud bo‘lgan erkin zaryadlarni algebraik yig‘indisiga teng. 
∮
= Σq
erk
2.Bir jinsli maydon uchun elektr induksiya vektorini
quyidagicha yozish mumkin
⃗⃗⃗
= ε
0
ε
r
⃗⃗
bundan kelib chiqib quyidagini yozish mumkin 
∮
dS = Σq
erk
/ ε
0 
ε
r
ε
r
- nisbiy dielektrik singdiruvchanlik 
Yopiq sirtdan o‘tayotgan elektr maydon kuchlanganligi vektori oqimi erkin 
zaryadlar yig‘indisini ε
0
ε
r
ko‘paytmasini bo‘linganiga teng. 
Yuqoridagi kelib chiqib maydon kuchlanganligi vektorini elektr induksiya 
vektoridan farqi muxitni dielektrik singdiruvchanligiga bog‘liq.
3.Yopiq sirt bo‘yicha o‘tayotgan maydon kuchlanganligi 
⃗⃗
vektor oqimi nafaqat 
Σq
erk
erkin zaryadlar yig‘indisidan,balki mana shu sirt ichida joylashgan Σq
bog‘l
bog‘langan zaryadlar yig‘indisi xam tashkil qiladi. 
Ma’lumki Yopiq sirt bo‘yicha o‘tayotgan 
⃗⃗
qutblanish vektori Yopiq sirt ichida 
joylashgan Σq
bog‘l
bog‘langan zaryadlarni algebraik yig‘indisini teskari ishora bilan 
olinganiga teng.
Σq
bog‘l
= - 
∮
S 

---

Gauss teoremasini differensial shakli. 
Gauss teoremasini integral shakli yordamida ayni nuqtada
⃗⃗⃗
vektor oqimi erkin 
zaryadlar zichligi bilan maydonni ayni nuqtasida qanday bog‘langanligini aniqlash 
mumkin emas. Gauss teoremasini integral shaklini birinchi ko‘rinishini tenglikni 
o‘ng chap tamonini yopiq sirt ichida joylashgan V xajmga bo‘lamiz. 
∮
/ V= Σq
erk
/ V 
Yuqoridagi tenglik istalgan xajm uchun taaluqli va bu V xajmni nolga intiltirsak
lim
v-0
∮
/ V= lim
v-0
Σq
erk
/ V 
V-xajmni nolga intiltirsak
∮
ifoda xam nolga intiladi. 
Biror xajm bilan chegaralangan Yopiq sirtdan o‘tayotgan vektor kattalik oqimini V 
xajmga munosabati 
⃗⃗⃗
vektorini divergensiyasi deb ataladi. 
Ifodani o‘ng tamoni erkin zaryadlarni xajmiy zichligini anglatadi. 
ρ
erk
= lim
v-0
Σq
erk
/ V 
SHunday qilib Gauss teoremasini differensial shakli quyidagicha yoziladi: 
divD= ρ
erk 
Maydonni ayni nuqtasida 
⃗⃗⃗
vektorini boshlanishi mana shu nuqtadagi erkin 
zaryadlar zichligi bilan aniqlanadi. 
Agar ayni nuqtada zaryadlarni xajmiy zichligi noldan katta bo‘lsa ρ
erk
>0 
⃗⃗⃗
vektor chiziqlari ayni nuqtadan boshlanadi 
Agar ayni nuqtada zaryadlarni xajmiy zichligi noldan katta bo‘lsa ρ
erk
˂0 

---

⃗⃗⃗
vektor chiziqlari ayni nuqtada
tugaydi. 
Agar ayni nuqtada zaryadlarni xajmiy zichligi noldan katta bo‘lsa ρ
erk
=0 
⃗⃗⃗
vektor chiziqlari ayni nuqtada 
boshlanmaydi xam tugamaydi xam.
Agar muxit bir jinsli va izotrop bo‘lsa ya’ni ε
a
= const absolyut dielektrik 
singdiruvchanlik o‘zgarmas bo‘lsa
divD= ρ
erk
ifoda o‘rniga div ε
a
E= ρ
erk
ifodani yozish mumkin 
ε
a
- const bo‘lganligi uchun divergensiyadan tashqariga chiqaramiz 
u xolda
ε
a
div E= ρ
erk
maydon kuchlanganligi divergensiyasi teng bo‘ladi 
div E= ρ
erk
/ε
a
bu ifoda Gauss teoremasini ikkinchi differensial ko‘rinishi bo‘ladi, bir jinsli izotrop 
muxit uchun o‘rinli. 
Bir jinsli bo‘lmagan maydon uchun ε
a
= const bo‘lmagani uchun divergensiya 
belgisini oldiga chiqarish mumkin emas, shuning uchun Yuqoridagi ifodani 
quyidagicha yozish o‘rinli 
div E= ρ
erk
+ ρ
bog‘l
/ε
0
E vektorini boshlanishida D vektorini boshlanishidan farqi nafaqat erkin zaryadlar 
qatnashadi balki bog‘langan zaryadlar xam qatnashadi. 
Pausson va Laplas tenglamalari: 
Bu tenglamalar elektrostatikani asosiy tenglamalari sanaladi va Gauss 
teoremasini differensial shaklidan kelib chiqadi. 
Bizga ma’lumki

---

E= - grad φ 
Gauss teoremasiga binoan 
div E= ρ
erk
/ε
a
Yuqoridagi ikki tenglikdan kelib chiqib quyidagini yozish mumkin 
div E= div (- grad φ) = ρ
erk
/ε
a
Minus ishorasini tenglikni o‘ng tarafiga o‘tkazsak 
div grad φ = - ρ
erk
/ε
a
grad φ o‘rniga uni ekvivalentini grad φ =
yozamiz, div o‘rniga 
nabla 
operatori orqali ifodalasak
= - ρ
erk
/ε
a
yoki 
2
= - ρ
erk
/ε
a 
bu tenglik Pausson tengligi deyiladi. 
Pausson tengligini xususiy ko‘rinishi ρ
erk
= 0 bo‘lgan xolat uchun Laplas tengligi 
xosil bo‘ladi. 
2
= div grad - Laplas operatori deyiladi. 
Dekart koordinata o‘qlarida Pausson va Laplas tengliklari yozsak: 
2
Pausson tengligi
=
- ρ
erk
/ε
a
Laplas tengligi
= 0
Pausson tengligi maydonni istalgan nuqtasida potensialdan ikki marta olingan 
xosilani ayni nuqtada erkin zaryadlarni xajmiy zichligi bilan bog‘liqligini 
ifodalaydi.Maydonni biror nuqtasida potensial, manna shu maydonni tashkil 
qilayotgan barcha zaryadlarga bog‘liq na faqat erkin zaryadlarga. 

---

Savollar; 
1. Elektrostatik maydon kuchlanganligi va potensiali. Qulon qonuni. 
2. Bir jinsli maydon uchun elektr induksiya vektori.
2. Elektrmaydon -potensial maydon, kuch va ekvipotensial chiziqlar. 
3 Maydon kuchlanganligini potensialni gradienti ko‘rinishdagi ifodasi.