22- маъруза Икки қатламли айирмали схемалар тургунлиги ва яқинлашишини узгарувчиларга ажратиш методи ёрдамида тадқиқ этиш

2.2. Хос сонлар бахоси. Операторнинг мусбатлиги.

А оператор учун

AY=Y

Ёки батафсилроқ

(2)
Хос сонлар масаласини қараймиз. А оператори узига қушма булганлиги учун унинг (N₁-1)(N₂-1) хақиқий хос қийматлари мавжуд булиб, хос функциялар системаси Н фазода ортогонал базис ташкил қилади.

сонлар А операторининг хос сонларини,

Функциялар А операторининг хос функцияларини ташкил қилишларини текшириб куриш қийин эмас.
А операторининг энг кичик ва энг катта хос қийматлари

А оператори учун

бахо уринли.


3. Иссиклик утказувчанлик тенгламаси учун параметрли схеманинг тургунлиги ва яқинлашишини тадқиқ этиш.(икки қатламли схема мисоли.)


3.1.Дастлабки масала ва айирмали схема.
Иссиклиқ утказувчанлик тенгламаси учун биринчи чегаравий масалани қараймиз :
₍₁₎
бундаги

турни аниқлаб

белгилашларни қабул қиламиз.
(1) - дифференциал масалани турда
(2)
бу ерда сон ва функцияни алмаштирувчи тур функция, айирмали схема билан алмаштирамиз.
(2) - тенглама айирмали бошлангич ва чегаравий шартларни илова қилиш лозим:
(3)
(2),(3) айирмали масала иссиқлик утказувчанлик тенгламаси учун параметрли айирмали схема деб айтилади. Бу айирмали схема аниқлиги хатолик билан характерланади. Хатолик учун



бу ерда

(2), (3) схеманинг (1) масала ечимдаги аппроксимация хатолиги.
Олдинги маърузаларда мувофиқ равишда танлаб олинганда;



муносабатлар уринли эканлиги курсатилган эди.
Бу ерда (2), (3)-айирмали масала ечимини бошлангич берилган ва унг томон орқали бахолаймиз. Бу бахолар айирмали схеманинг бошлангич берилганлар ва унг томонга нисбатан тургунлигини ифодалайди.
Бу баходан хатоликнинг аппроксимация хатолиги орқали бахоси келиб чиқади. Бу бахолар (2),(3)-схеманинг яқинлашишни ва аниқлигини характерлайдилар. (2),(3)-схемадан фойдаланиш мумкин булиши учун (2) тенглама га нисбатан ечиладиган булиши зарур.Биринчи қисмда қаралган иккинчи тартибли айирмали хосила операторини киритамиз :
₍₅₎
Унда (2),(3)-схемани
(6)
оператор куринишда ёзиш мумкин.
Бу ерда


(6) тенгламани яна

бу ерда Е бирлик оператор, куринишда ёзиш мумкин. (6)-тенгламанинг га нисбатан ечиладиган булиши операторнинг тескарисининг мавжудлигига эквивалент. операторнинг тескариси
(7)
талабни қуйганимизда мавжуд булади. Бу ердаги (5)-оператор хос сонлари.Бундан кейин (7) - шарт хамма вақт бажарилган деб фараз қиламиз.