2-Misol. Ushbu yoki bir jinsli tenglamani yeching. Yechish



Download 152,07 Kb.
Sana17.07.2022
Hajmi152,07 Kb.
#812191
Bog'liq
3-amaliy mashg'ulot




1-Misol. (x2+y2)dy+2xy dx=0 f1(x, y)=x2+y2 va f2(x, y)=2xy differensial tenglama bir jinslidir, chunki x2+y2 va 2xy funksiyalar ikki o‘lchovli bir jinslidir:
Haqiqatan f1(tx, ty) = (tx)2+(ty)2=t2(x2+y2)=t2 f1(x, y)
f2(tx,ty)= 2(tx) (ty)=t22xy = t2 f2(x, y).
Endi differensial tenglamani yechamiz, ya’ni u=u(x) funksiya kiritib y=ux , dy=u dx+x du. Unda
(x2 + x2 u2) (u dx+x du) + 2x2 u dx = 0
yoki ixchamlab,
(1+u2)dx+2ux dx=0
o‘zgaruvchilarni ajratib,

hosil qilamiz.
Integrallab, lnx+ln(l+u2)=lnc yoki x(l+u2)=C ni topamiz. u=y/x almashtirishni hisobga olsak, berilgan tenglamaning umumiy integralini hosil qilamiz:
x2+y2=Cx.




2-Misol. Ushbu
yoki
bir jinsli tenglamani yeching.
Yechish: O‘ng tomoni nol o‘lchovli bir jinsli funksiyadan iborat, almashtirish bajaramiz, u holda va ning ifodalarini differensial tenglamaga qo‘yamiz:

o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglama hosil bo‘ladi.
Oxirgi tenglikni ga ko‘paytirib ga bo‘lamiz, o‘zgaruvchilar ajraladi.
Integrallab, topamiz: . Bu yerdan .




3-Misol. Ushbu differensial tenglamani yeching.
Yechish: Berilgan tenglamani x ga bo‘lamiz, bo‘ladi
.
Demak, qaralayotgan tenglama bir jinsli differensial tenglama, quyidagi y=z x, z=z (x) almashtirishni bajaramiz. Unda bo‘lib, berilgan differensial tenglama, ushbu

yoki

ko‘rinishda bo‘ladi. Bu o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglama. Unda o‘zgaruvchilarni ajratsak bo‘ladi

Integrallaymiz

yoki

yoki

berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi, bunda c ixtiyoriy o‘zgarmas.
Endi cos ln z=1 tenglikni ko‘ramiz, bundan
yechim hosil bo‘ladi.

4-Misol. simmetrik ko‘rinishdagi differensial tenglama integrallansin.
Yechish: Misolda va funksiyalar birinchi tartibli bir jinsli funksiyalar. Haqiqatan,
.
Demak, berilgan tenglama bir jinsli differensial tenglama va uni yechish uchun almashtirish kiritamiz. Unda y=xz, dy=xdz+zdx ni tenglamaga qo‘ysak, bo‘ladi
(x ez – x z) dx+ x (xdz+ zdx) =0
yoki x 0 ga qisqartirib ixchamlasak, bo‘ladi
x dz + ez dx =0.
O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama hosil bo‘ladi, x ez0 deb, topamiz
.
Integrallaymiz, bo‘ladi
yoki yoki ,
bundan y=–x ln lncx – differensial tenglamaning umumiy yechimini topamiz, bunda C – ixtiyoriy o‘zgarmas.














1- misol.

Sistemani yechamiz. Demak tenglamani Bir jinsli tenglamaga keltirish uchun x=u+3, y=v-2 almashtirish olamiz. U holda dx=du, dy=dv bo’lib, Bir jinsli differensial tenglamaga keladi, ya’ni

Yechish uchun v=uz, z=z(u) almashtirish olamiz, u holda

Bu tenglamani yechib, yana eski o’zgaruvchilar (x,y) ga qaytsak,

umumiy yechimni hosil qilamiz.





2- misol.

almashtirish berilgan tenglamani o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltiradi, ya’ni . Yechimi
Agar differensial tenglama yoki almashtirish yordamida bir jinsli tenglamaga aylansa, bunday tenglama umumlashgan bir jinsli tenglama deyiladi.
k( ) sonni topish uchun tenglamada yoki almashtirish bajaramiz va k( ) sonni tanlash natijasida tenglama bir jinsli bo’lishini tekshiramiz.





3- misol. almashtirish bajaramiz.

Bir xad darajalari bir xil bo’lsa, tenglama Bir jinsli tenglama bo’ladi, ya’ni . Bu tenglamalarni qanoatlantiruvchi yechim k=2.
Demak, tenglama umumlashgan Bir jinsli va integrallash uchun almashtirish olamiz.
Bu almashtirishga asosan tenglama quyidagicha bo’ladi:

almashtirish bajarsak, o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama hosil qilamiz.
Berilgan tenglamaning yechimi

Ko’rsatma. Yuqorida bayon qilingan usulni qo’llab k( ) son topilgandan so’ng berilgan tenglamani almashtirish yordamida o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltirish mumkin.
























Quyidagi differensial tenglamalarni umumiy yechimini toping?
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17 18.
19. 20.
21. 22.



Quyidagi differensial tenglamalarni umumiy yechimini toping?


1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.





Download 152,07 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish